Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29652 / 22710
↖ ↑ ↗
← N 48.261256°
W 17.116699°		 ← 406.67 m → N 48.261256°
W 17.111206°		 →
↑
406.66 m
↓
↑
406.66 m
↓
N 48.257598°
W 17.116699°		 ← 406.69 m →
165 381 m²		 N 48.257598°
W 17.111206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452461242675781 y=0.346534729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452461242675781 × 216)
    floor (0.452461242675781 × 65536)
    floor (29652.5)     		tx = 29652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346534729003906 × 216)
    floor (0.346534729003906 × 65536)
    floor (22710.5)     		ty = 22710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29652 / 22710 ti = "16/29652/22710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29652/22710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29652 ÷ 216
    29652 ÷ 65536     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22710 ÷ 216
    22710 ÷ 65536     		y = 0.346527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    0.30694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.96429867275705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96429867275705))-π/2
    2×atan(2.62294746674715)-π/2
    2×1.20655706952569-π/2
    2.41311413905139-1.57079632675     		φ = 0.84231781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84231781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.261256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29652 KachelY 22710 -0.29874276 0.84231781 -17.116699 48.261256
    Oben rechts KachelX + 1 29653 KachelY 22710 -0.29864688 0.84231781 -17.111206 48.261256
    Unten links KachelX 29652 KachelY + 1 22711 -0.29874276 0.84225398 -17.116699 48.257598
    Unten rechts KachelX + 1 29653 KachelY + 1 22711 -0.29864688 0.84225398 -17.111206 48.257598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84231781-0.84225398) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dl = 406.660929999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84231781-0.84225398) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dr = 406.660929999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29864688) × cos(0.84231781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665735093231261 × 6371000     		do = 406.665266988223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29864688) × cos(0.84225398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665782721065953 × 6371000     		du = 406.694360521533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84231781)-sin(0.84225398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665735093231261-0.665782721065953)×R²
    abs(-0.29864688--0.29874276)×4.76278346922543e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76278346922543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76278346922543e-05×40589641000000     		ar = 165380.791329912m²