Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29651 / 43095
↖ ↑ ↗
← S 49.235534°
W 17.122192°		 ← 398.81 m → S 49.235534°
W 17.116699°		 →
↑
398.82 m
↓
↑
398.82 m
↓
S 49.239121°
W 17.122192°		 ← 398.79 m →
159 051 m²		 S 49.239121°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452445983886719 y=0.657585144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452445983886719 × 216)
    floor (0.452445983886719 × 65536)
    floor (29651.5)     		tx = 29651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657585144042969 × 216)
    floor (0.657585144042969 × 65536)
    floor (43095.5)     		ty = 43095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29651 / 43095 ti = "16/29651/43095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29651/43095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29651 ÷ 216
    29651 ÷ 65536     		x = 0.452438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43095 ÷ 216
    43095 ÷ 65536     		y = 0.657577514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452438354492188 × 2 - 1) × π
    -0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657577514648438 × 2 - 1) × π
    -0.315155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99008872475264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29883863} λ = -0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99008872475264))-π/2
    2×atan(0.371543724434546)-π/2
    2×0.355737073059792-π/2
    0.711474146119584-1.57079632675     		φ = -0.85932218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85932218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.235534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29651 KachelY 43095 -0.29883863 -0.85932218 -17.122192 -49.235534
    Oben rechts KachelX + 1 29652 KachelY 43095 -0.29874276 -0.85932218 -17.116699 -49.235534
    Unten links KachelX 29651 KachelY + 1 43096 -0.29883863 -0.85938478 -17.122192 -49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 29652 KachelY + 1 43096 -0.29874276 -0.85938478 -17.116699 -49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85932218--0.85938478) × R
    6.25999999999127e-05 × 6371000     		dl = 398.824599999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85932218--0.85938478) × R
    6.25999999999127e-05 × 6371000     		dr = 398.824599999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(-0.85932218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652950999092785 × 6371000     		do = 398.814484655146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(-0.85938478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 398.785524440732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85932218)-sin(-0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652950999092785-0.652903584563817)×R²
    abs(-0.29874276--0.29883863)×4.74145289680594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74145289680594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74145289680594e-05×40589641000000     		ar = 159051.252345724m²