Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29651 / 42898
↖ ↑ ↗
← S 48.523881°
W 17.122192°		 ← 404.53 m → S 48.523881°
W 17.116699°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
S 48.527519°
W 17.122192°		 ← 404.50 m →
163 650 m²		 S 48.527519°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452445983886719 y=0.654579162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452445983886719 × 216)
    floor (0.452445983886719 × 65536)
    floor (29651.5)     		tx = 29651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654579162597656 × 216)
    floor (0.654579162597656 × 65536)
    floor (42898.5)     		ty = 42898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29651 / 42898 ti = "16/29651/42898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29651/42898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29651 ÷ 216
    29651 ÷ 65536     		x = 0.452438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42898 ÷ 216
    42898 ÷ 65536     		y = 0.654571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452438354492188 × 2 - 1) × π
    -0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.30914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971201586302338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29883863} λ = -0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971201586302338))-π/2
    2×atan(0.378627810669661)-π/2
    2×0.361947416990721-π/2
    0.723894833981442-1.57079632675     		φ = -0.84690149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84690149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.523881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29651 KachelY 42898 -0.29883863 -0.84690149 -17.122192 -48.523881
    Oben rechts KachelX + 1 29652 KachelY 42898 -0.29874276 -0.84690149 -17.116699 -48.523881
    Unten links KachelX 29651 KachelY + 1 42899 -0.29883863 -0.84696499 -17.122192 -48.527519
    Unten rechts KachelX + 1 29652 KachelY + 1 42899 -0.29874276 -0.84696499 -17.116699 -48.527519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84690149--0.84696499) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84690149--0.84696499) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(-0.84690149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		do = 404.529518776477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(-0.84696499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662260246282556 × 6371000     		du = 404.500458986564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84690149)-sin(-0.84696499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662307823839507-0.662260246282556)×R²
    abs(-0.29874276--0.29883863)×4.75775569512837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75775569512837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75775569512837e-05×40589641000000     		ar = 163649.977184588m²