Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29651 / 22707
↖ ↑ ↗
← N 48.272225°
W 17.122192°		 ← 406.54 m → N 48.272225°
W 17.116699°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
N 48.268569°
W 17.122192°		 ← 406.56 m →
165 276 m²		 N 48.268569°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452445983886719 y=0.346488952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452445983886719 × 216)
    floor (0.452445983886719 × 65536)
    floor (29651.5)     		tx = 29651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346488952636719 × 216)
    floor (0.346488952636719 × 65536)
    floor (22707.5)     		ty = 22707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29651 / 22707 ti = "16/29651/22707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29651/22707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29651 ÷ 216
    29651 ÷ 65536     		x = 0.452438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22707 ÷ 216
    22707 ÷ 65536     		y = 0.346481323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452438354492188 × 2 - 1) × π
    -0.095123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29883863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346481323242188 × 2 - 1) × π
    0.307037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96458629415477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29883863} λ = -0.29883863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96458629415477))-π/2
    2×atan(2.62370199106715)-π/2
    2×1.20665279908079-π/2
    2.41330559816158-1.57079632675     		φ = 0.84250927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29883863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.122192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84250927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.272225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29651 KachelY 22707 -0.29883863 0.84250927 -17.122192 48.272225
    Oben rechts KachelX + 1 29652 KachelY 22707 -0.29874276 0.84250927 -17.116699 48.272225
    Unten links KachelX 29651 KachelY + 1 22708 -0.29883863 0.84244546 -17.122192 48.268569
    Unten rechts KachelX + 1 29652 KachelY + 1 22708 -0.29874276 0.84244546 -17.116699 48.268569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84250927-0.84244546) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dl = 406.533509999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84250927-0.84244546) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dr = 406.533509999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(0.84250927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		do = 406.535585244173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29883863--0.29874276) × cos(0.84244546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665639836887651 × 6371000     		du = 406.564671595763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84250927)-sin(0.84244546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665592215843127-0.665639836887651)×R²
    abs(-0.29874276--0.29883863)×4.76210445240488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76210445240488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76210445240488e-05×40589641000000     		ar = 165276.250753576m²