Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29650 / 43062
↖ ↑ ↗
← S 49.117029°
W 17.127686°		 ← 399.81 m → S 49.117029°
W 17.122192°		 →
↑
399.72 m
↓
↑
399.72 m
↓
S 49.120624°
W 17.127686°		 ← 399.78 m →
159 806 m²		 S 49.120624°
W 17.122192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452430725097656 y=0.657081604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452430725097656 × 216)
    floor (0.452430725097656 × 65536)
    floor (29650.5)     		tx = 29650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657081604003906 × 216)
    floor (0.657081604003906 × 65536)
    floor (43062.5)     		ty = 43062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29650 / 43062 ti = "16/29650/43062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29650/43062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29650 ÷ 216
    29650 ÷ 65536     		x = 0.452423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43062 ÷ 216
    43062 ÷ 65536     		y = 0.657073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.09515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29893451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657073974609375 × 2 - 1) × π
    -0.31414794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.986924889377716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29893451} λ = -0.29893451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986924889377716))-π/2
    2×atan(0.372721089125168)-π/2
    2×0.356771225627044-π/2
    0.713542451254088-1.57079632675     		φ = -0.85725388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29893451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.127686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85725388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.117029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29650 KachelY 43062 -0.29893451 -0.85725388 -17.127686 -49.117029
    Oben rechts KachelX + 1 29651 KachelY 43062 -0.29883863 -0.85725388 -17.122192 -49.117029
    Unten links KachelX 29650 KachelY + 1 43063 -0.29893451 -0.85731662 -17.127686 -49.120624
    Unten rechts KachelX + 1 29651 KachelY + 1 43063 -0.29883863 -0.85731662 -17.122192 -49.120624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85725388--0.85731662) × R
    6.27399999999501e-05 × 6371000     		dl = 399.716539999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85725388--0.85731662) × R
    6.27399999999501e-05 × 6371000     		dr = 399.716539999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29893451--0.29883863) × cos(-0.85725388) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654516132096147 × 6371000     		do = 399.812147974776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29893451--0.29883863) × cos(-0.85731662) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654468696354208 × 6371000     		du = 399.783171781608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85725388)-sin(-0.85731662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654516132096147-0.654468696354208)×R²
    abs(-0.29883863--0.29893451)×4.74357419394389e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74357419394389e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74357419394389e-05×40589641000000     		ar = 159805.737358793m²