Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29650 / 42318
↖ ↑ ↗
← S 46.369674°
W 17.127686°		 ← 421.49 m → S 46.369674°
W 17.122192°		 →
↑
421.44 m
↓
↑
421.44 m
↓
S 46.373464°
W 17.127686°		 ← 421.46 m →
177 627 m²		 S 46.373464°
W 17.122192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452430725097656 y=0.645729064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452430725097656 × 216)
    floor (0.452430725097656 × 65536)
    floor (29650.5)     		tx = 29650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645729064941406 × 216)
    floor (0.645729064941406 × 65536)
    floor (42318.5)     		ty = 42318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29650 / 42318 ti = "16/29650/42318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29650/42318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29650 ÷ 216
    29650 ÷ 65536     		x = 0.452423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42318 ÷ 216
    42318 ÷ 65536     		y = 0.645721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.09515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29893451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.29144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915594782743072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29893451} λ = -0.29893451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915594782743072))-π/2
    2×atan(0.400278476543948)-π/2
    2×0.380746420043458-π/2
    0.761492840086917-1.57079632675     		φ = -0.80930349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29893451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.127686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80930349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.369674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29650 KachelY 42318 -0.29893451 -0.80930349 -17.127686 -46.369674
    Oben rechts KachelX + 1 29651 KachelY 42318 -0.29883863 -0.80930349 -17.122192 -46.369674
    Unten links KachelX 29650 KachelY + 1 42319 -0.29893451 -0.80936964 -17.127686 -46.373464
    Unten rechts KachelX + 1 29651 KachelY + 1 42319 -0.29883863 -0.80936964 -17.122192 -46.373464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80930349--0.80936964) × R
    6.61499999999871e-05 × 6371000     		dl = 421.441649999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80930349--0.80936964) × R
    6.61499999999871e-05 × 6371000     		dr = 421.441649999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29893451--0.29883863) × cos(-0.80930349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.690002738923915 × 6371000     		do = 421.489194275695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29893451--0.29883863) × cos(-0.80936964) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.689954857597365 × 6371000     		du = 421.459945896507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80930349)-sin(-0.80936964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690002738923915-0.689954857597365)×R²
    abs(-0.29883863--0.29893451)×4.78813265504252e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78813265504252e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78813265504252e-05×40589641000000     		ar = 177626.938314798m²