Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2965 / 3542
↖ ↑ ↗
← N 23.644524°
W 49.702149°		 ← 4 476.28 m → N 23.644524°
W 49.658203°		 →
↑
4 476.97 m
↓
↑
4 476.97 m
↓
N 23.604262°
W 49.702149°		 ← 4 477.65 m →
20 043 226 m²		 N 23.604262°
W 49.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36199951171875 y=0.43243408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36199951171875 × 213)
    floor (0.36199951171875 × 8192)
    floor (2965.5)     		tx = 2965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43243408203125 × 213)
    floor (0.43243408203125 × 8192)
    floor (3542.5)     		ty = 3542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2965 / 3542 ti = "13/2965/3542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2965/3542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2965 ÷ 213
    2965 ÷ 8192     		x = 0.3619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3542 ÷ 213
    3542 ÷ 8192     		y = 0.432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86746614} λ = -0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424912678232178))-π/2
    2×atan(1.52945685895535)-π/2
    2×0.991735562058178-π/2
    1.98347112411636-1.57079632675     		φ = 0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2965 KachelY 3542 -0.86746614 0.41267480 -49.702149 23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 2966 KachelY 3542 -0.86669915 0.41267480 -49.658203 23.644524
    Unten links KachelX 2965 KachelY + 1 3543 -0.86746614 0.41197209 -49.702149 23.604262
    Unten rechts KachelX + 1 2966 KachelY + 1 3543 -0.86669915 0.41197209 -49.658203 23.604262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41267480-0.41197209) × R
    0.000702709999999995 × 6371000     		dl = 4476.96540999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41267480-0.41197209) × R
    0.000702709999999995 × 6371000     		dr = 4476.96540999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86746614--0.86669915) × cos(0.41267480) × R
    0.000766990000000023 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 4476.27874117654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86746614--0.86669915) × cos(0.41197209) × R
    0.000766990000000023 × 0.916332946451931 × 6371000     		du = 4477.65479424342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41267480)-sin(0.41197209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.916332946451931)×R²
    abs(-0.86669915--0.86746614)×0.000281603388200713×R²
    0.000766990000000023×0.000281603388200713×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281603388200713×40589641000000     		ar = 20043226.1855376m²