Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29649 / 42897
↖ ↑ ↗
← S 48.520243°
W 17.133179°		 ← 404.56 m → S 48.520243°
W 17.127686°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
S 48.523881°
W 17.133179°		 ← 404.53 m →
163 662 m²		 S 48.523881°
W 17.127686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452415466308594 y=0.654563903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452415466308594 × 216)
    floor (0.452415466308594 × 65536)
    floor (29649.5)     		tx = 29649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654563903808594 × 216)
    floor (0.654563903808594 × 65536)
    floor (42897.5)     		ty = 42897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29649 / 42897 ti = "16/29649/42897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29649/42897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29649 ÷ 216
    29649 ÷ 65536     		x = 0.452407836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42897 ÷ 216
    42897 ÷ 65536     		y = 0.654556274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452407836914062 × 2 - 1) × π
    -0.095184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29903038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.309112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971105712503098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29903038} λ = -0.29903038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971105712503098))-π/2
    2×atan(0.378664112896557)-π/2
    2×0.361979167114587-π/2
    0.723958334229173-1.57079632675     		φ = -0.84683799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29903038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.133179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84683799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.520243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29649 KachelY 42897 -0.29903038 -0.84683799 -17.133179 -48.520243
    Oben rechts KachelX + 1 29650 KachelY 42897 -0.29893451 -0.84683799 -17.127686 -48.520243
    Unten links KachelX 29649 KachelY + 1 42898 -0.29903038 -0.84690149 -17.133179 -48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 29650 KachelY + 1 42898 -0.29893451 -0.84690149 -17.127686 -48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84683799--0.84690149) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84683799--0.84690149) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29903038--0.29893451) × cos(-0.84683799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662355398725868 × 6371000     		do = 404.558576935225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29903038--0.29893451) × cos(-0.84690149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 404.529518776477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84683799)-sin(-0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662355398725868-0.662307823839507)×R²
    abs(-0.29893451--0.29903038)×4.75748863605352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75748863605352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75748863605352e-05×40589641000000     		ar = 163661.733239536m²