Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29648 / 42320
↖ ↑ ↗
← S 46.377254°
W 17.138672°		 ← 421.39 m → S 46.377254°
W 17.133179°		 →
↑
421.44 m
↓
↑
421.44 m
↓
S 46.381044°
W 17.138672°		 ← 421.36 m →
177 584 m²		 S 46.381044°
W 17.133179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452400207519531 y=0.645759582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452400207519531 × 216)
    floor (0.452400207519531 × 65536)
    floor (29648.5)     		tx = 29648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645759582519531 × 216)
    floor (0.645759582519531 × 65536)
    floor (42320.5)     		ty = 42320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29648 / 42320 ti = "16/29648/42320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29648/42320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29648 ÷ 216
    29648 ÷ 65536     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42320 ÷ 216
    42320 ÷ 65536     		y = 0.645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.29150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915786530341553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915786530341553))-π/2
    2×atan(0.400201731465424)-π/2
    2×0.380680271449785-π/2
    0.76136054289957-1.57079632675     		φ = -0.80943578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80943578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.377254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29648 KachelY 42320 -0.29912625 -0.80943578 -17.138672 -46.377254
    Oben rechts KachelX + 1 29649 KachelY 42320 -0.29903038 -0.80943578 -17.133179 -46.377254
    Unten links KachelX 29648 KachelY + 1 42321 -0.29912625 -0.80950193 -17.138672 -46.381044
    Unten rechts KachelX + 1 29649 KachelY + 1 42321 -0.29903038 -0.80950193 -17.133179 -46.381044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80943578--0.80950193) × R
    6.61499999999871e-05 × 6371000     		dl = 421.441649999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80943578--0.80950193) × R
    6.61499999999871e-05 × 6371000     		dr = 421.441649999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29903038) × cos(-0.80943578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689906980490674 × 6371000     		do = 421.386746121323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29903038) × cos(-0.80950193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68985909312655 × 6371000     		du = 421.357497104978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80943578)-sin(-0.80950193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689906980490674-0.68985909312655)×R²
    abs(-0.29903038--0.29912625)×4.78873641245325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78873641245325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78873641245325e-05×40589641000000     		ar = 177583.762261314m²