Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29648 / 42286
↖ ↑ ↗
← S 46.248250°
W 17.138672°		 ← 422.38 m → S 46.248250°
W 17.133179°		 →
↑
422.40 m
↓
↑
422.40 m
↓
S 46.252048°
W 17.138672°		 ← 422.35 m →
178 406 m²		 S 46.252048°
W 17.133179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452400207519531 y=0.645240783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452400207519531 × 216)
    floor (0.452400207519531 × 65536)
    floor (29648.5)     		tx = 29648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645240783691406 × 216)
    floor (0.645240783691406 × 65536)
    floor (42286.5)     		ty = 42286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29648 / 42286 ti = "16/29648/42286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29648/42286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29648 ÷ 216
    29648 ÷ 65536     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42286 ÷ 216
    42286 ÷ 65536     		y = 0.645233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.29046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912526821167389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912526821167389))-π/2
    2×atan(0.40150840124571)-π/2
    2×0.381806046273896-π/2
    0.763612092547793-1.57079632675     		φ = -0.80718423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80718423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.248250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29648 KachelY 42286 -0.29912625 -0.80718423 -17.138672 -46.248250
    Oben rechts KachelX + 1 29649 KachelY 42286 -0.29903038 -0.80718423 -17.133179 -46.248250
    Unten links KachelX 29648 KachelY + 1 42287 -0.29912625 -0.80725053 -17.138672 -46.252048
    Unten rechts KachelX + 1 29649 KachelY + 1 42287 -0.29903038 -0.80725053 -17.133179 -46.252048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80718423--0.80725053) × R
    6.63000000000746e-05 × 6371000     		dl = 422.397300000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80718423--0.80725053) × R
    6.63000000000746e-05 × 6371000     		dr = 422.397300000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29903038) × cos(-0.80718423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691535122990491 × 6371000     		do = 422.381195648029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29903038) × cos(-0.80725053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691487230140569 × 6371000     		du = 422.351943281026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80718423)-sin(-0.80725053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691535122990491-0.691487230140569)×R²
    abs(-0.29903038--0.29912625)×4.78928499223485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78928499223485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78928499223485e-05×40589641000000     		ar = 178406.498617805m²