Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29647 / 43131
↖ ↑ ↗
← S 49.364489°
W 17.144165°		 ← 397.81 m → S 49.364489°
W 17.138672°		 →
↑
397.74 m
↓
↑
397.74 m
↓
S 49.368066°
W 17.144165°		 ← 397.78 m →
158 221 m²		 S 49.368066°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452384948730469 y=0.658134460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452384948730469 × 216)
    floor (0.452384948730469 × 65536)
    floor (29647.5)     		tx = 29647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658134460449219 × 216)
    floor (0.658134460449219 × 65536)
    floor (43131.5)     		ty = 43131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29647 / 43131 ti = "16/29647/43131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29647/43131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29647 ÷ 216
    29647 ÷ 65536     		x = 0.452377319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43131 ÷ 216
    43131 ÷ 65536     		y = 0.658126831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452377319335938 × 2 - 1) × π
    -0.095245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29922213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658126831054688 × 2 - 1) × π
    -0.316253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993540181525284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29922213} λ = -0.29922213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993540181525284))-π/2
    2×atan(0.370263567803977)-π/2
    2×0.354611729478869-π/2
    0.709223458957738-1.57079632675     		φ = -0.86157287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29922213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.144165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86157287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.364489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29647 KachelY 43131 -0.29922213 -0.86157287 -17.144165 -49.364489
    Oben rechts KachelX + 1 29648 KachelY 43131 -0.29912625 -0.86157287 -17.138672 -49.364489
    Unten links KachelX 29647 KachelY + 1 43132 -0.29922213 -0.86163530 -17.144165 -49.368066
    Unten rechts KachelX + 1 29648 KachelY + 1 43132 -0.29912625 -0.86163530 -17.138672 -49.368066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86157287--0.86163530) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dl = 397.74152999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86157287--0.86163530) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dr = 397.74152999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29922213--0.29912625) × cos(-0.86157287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		do = 397.813772823492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29922213--0.29912625) × cos(-0.86163530) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651197296397375 × 6371000     		du = 397.784832276305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86157287)-sin(-0.86163530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651244673784735-0.651197296397375)×R²
    abs(-0.29912625--0.29922213)×4.73773873593819e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73773873593819e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73773873593819e-05×40589641000000     		ar = 158221.303280123m²