Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29647 / 29803
↖ ↑ ↗
← S 81.273387°
E145.711670°		 ← 185.35 m → S 81.273387°
E145.722656°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
S 81.275053°
E145.711670°		 ← 185.31 m →
34 348 m²		 S 81.275053°
E145.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904769897460938 y=0.909530639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904769897460938 × 215)
    floor (0.904769897460938 × 32768)
    floor (29647.5)     		tx = 29647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909530639648438 × 215)
    floor (0.909530639648438 × 32768)
    floor (29803.5)     		ty = 29803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29647 / 29803 ti = "15/29647/29803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29647/29803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29647 ÷ 215
    29647 ÷ 32768     		x = 0.904754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29803 ÷ 215
    29803 ÷ 32768     		y = 0.909515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904754638671875 × 2 - 1) × π
    0.80950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54314840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.81903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57306102400613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54314840} λ = 2.54314840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57306102400613))-π/2
    2×atan(0.0763016264804462)-π/2
    2×0.0761540671359326-π/2
    0.152308134271865-1.57079632675     		φ = -1.41848819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54314840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41848819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.273387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29647 KachelY 29803 2.54314840 -1.41848819 145.711670 -81.273387
    Oben rechts KachelX + 1 29648 KachelY 29803 2.54334015 -1.41848819 145.722656 -81.273387
    Unten links KachelX 29647 KachelY + 1 29804 2.54314840 -1.41851728 145.711670 -81.275053
    Unten rechts KachelX + 1 29648 KachelY + 1 29804 2.54334015 -1.41851728 145.722656 -81.275053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41848819--1.41851728) × R
    2.90900000001759e-05 × 6371000     		dl = 185.332390001121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41848819--1.41851728) × R
    2.90900000001759e-05 × 6371000     		dr = 185.332390001121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54314840-2.54334015) × cos(-1.41848819) × R
    0.000191749999999935 × 0.151719951288585 × 6371000     		do = 185.347047502161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54314840-2.54334015) × cos(-1.41851728) × R
    0.000191749999999935 × 0.151691197984176 × 6371000     		du = 185.311921336927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41848819)-sin(-1.41851728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151719951288585-0.151691197984176)×R²
    abs(2.54334015-2.54314840)×2.87533044097121e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87533044097121e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87533044097121e-05×40589641000000     		ar = 34347.5562876781m²