Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29646 / 43134
↖ ↑ ↗
← S 49.375220°
W 17.149658°		 ← 397.69 m → S 49.375220°
W 17.144165°		 →
↑
397.68 m
↓
↑
397.68 m
↓
S 49.378797°
W 17.149658°		 ← 397.66 m →
158 145 m²		 S 49.378797°
W 17.144165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452369689941406 y=0.658180236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452369689941406 × 216)
    floor (0.452369689941406 × 65536)
    floor (29646.5)     		tx = 29646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658180236816406 × 216)
    floor (0.658180236816406 × 65536)
    floor (43134.5)     		ty = 43134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29646 / 43134 ti = "16/29646/43134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29646/43134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29646 ÷ 216
    29646 ÷ 65536     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43134 ÷ 216
    43134 ÷ 65536     		y = 0.658172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.31634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993827802923004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993827802923004))-π/2
    2×atan(0.370157087392836)-π/2
    2×0.354518083747755-π/2
    0.70903616749551-1.57079632675     		φ = -0.86176016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86176016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.375220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29646 KachelY 43134 -0.29931800 -0.86176016 -17.149658 -49.375220
    Oben rechts KachelX + 1 29647 KachelY 43134 -0.29922213 -0.86176016 -17.144165 -49.375220
    Unten links KachelX 29646 KachelY + 1 43135 -0.29931800 -0.86182258 -17.149658 -49.378797
    Unten rechts KachelX + 1 29647 KachelY + 1 43135 -0.29922213 -0.86182258 -17.144165 -49.378797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86176016--0.86182258) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dl = 397.677820000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86176016--0.86182258) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dr = 397.677820000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29922213) × cos(-0.86176016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651102534008707 × 6371000     		do = 397.685464788519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29922213) × cos(-0.86182258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651055156598072 × 6371000     		du = 397.656527245529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86176016)-sin(-0.86182258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651102534008707-0.651055156598072)×R²
    abs(-0.29922213--0.29931800)×4.73774106350966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73774106350966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73774106350966e-05×40589641000000     		ar = 158144.93482472m²