Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29646 / 42902
↖ ↑ ↗
← S 48.538432°
W 17.149658°		 ← 404.41 m → S 48.538432°
W 17.144165°		 →
↑
404.43 m
↓
↑
404.43 m
↓
S 48.542069°
W 17.149658°		 ← 404.38 m →
163 551 m²		 S 48.542069°
W 17.144165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452369689941406 y=0.654640197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452369689941406 × 216)
    floor (0.452369689941406 × 65536)
    floor (29646.5)     		tx = 29646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654640197753906 × 216)
    floor (0.654640197753906 × 65536)
    floor (42902.5)     		ty = 42902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29646 / 42902 ti = "16/29646/42902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29646/42902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29646 ÷ 216
    29646 ÷ 65536     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42902 ÷ 216
    42902 ÷ 65536     		y = 0.654632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971585081499298))-π/2
    2×atan(0.3784826365614)-π/2
    2×0.361820439300735-π/2
    0.723640878601471-1.57079632675     		φ = -0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29646 KachelY 42902 -0.29931800 -0.84715545 -17.149658 -48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 29647 KachelY 42902 -0.29922213 -0.84715545 -17.144165 -48.538432
    Unten links KachelX 29646 KachelY + 1 42903 -0.29931800 -0.84721893 -17.149658 -48.542069
    Unten rechts KachelX + 1 29647 KachelY + 1 42903 -0.29922213 -0.84721893 -17.144165 -48.542069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84715545--0.84721893) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dl = 404.43108000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84715545--0.84721893) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dr = 404.43108000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29922213) × cos(-0.84715545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 404.413288139989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29922213) × cos(-0.84721893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662069954319204 × 6371000     		du = 404.38423098262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84715545)-sin(-0.84721893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662069954319204)×R²
    abs(-0.29922213--0.29931800)×4.75732468728784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75732468728784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75732468728784e-05×40589641000000     		ar = 163551.427134824m²