Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29645 / 21181
↖ ↑ ↗
← N 76.395250°
W 98.577575°		 ← 71.83 m → N 76.395250°
W 98.574829°		 →
↑
71.80 m
↓
↑
71.80 m
↓
N 76.394604°
W 98.577575°		 ← 71.83 m →
5 157 m²		 N 76.394604°
W 98.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226177215576172 y=0.161602020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226177215576172 × 217)
    floor (0.226177215576172 × 131072)
    floor (29645.5)     		tx = 29645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161602020263672 × 217)
    floor (0.161602020263672 × 131072)
    floor (21181.5)     		ty = 21181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29645 / 21181 ti = "17/29645/21181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29645/21181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29645 ÷ 217
    29645 ÷ 131072     		x = 0.226173400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21181 ÷ 217
    21181 ÷ 131072     		y = 0.161598205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226173400878906 × 2 - 1) × π
    -0.547653198242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.72050326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161598205566406 × 2 - 1) × π
    0.676803588867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.12624118264759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72050326} λ = -1.72050326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12624118264759))-π/2
    2×atan(8.38329623523685)-π/2
    2×1.45207248584816-π/2
    2.90414497169632-1.57079632675     		φ = 1.33334864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72050326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.577575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33334864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.395250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29645 KachelY 21181 -1.72050326 1.33334864 -98.577575 76.395250
    Oben rechts KachelX + 1 29646 KachelY 21181 -1.72045533 1.33334864 -98.574829 76.395250
    Unten links KachelX 29645 KachelY + 1 21182 -1.72050326 1.33333737 -98.577575 76.394604
    Unten rechts KachelX + 1 29646 KachelY + 1 21182 -1.72045533 1.33333737 -98.574829 76.394604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33334864-1.33333737) × R
    1.12700000001187e-05 × 6371000     		dl = 71.8011700007561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33334864-1.33333737) × R
    1.12700000001187e-05 × 6371000     		dr = 71.8011700007561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72050326--1.72045533) × cos(1.33334864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235222696145956 × 6371000     		do = 71.8280799972461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72050326--1.72045533) × cos(1.33333737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235233649911744 × 6371000     		du = 71.8314248614035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33334864)-sin(1.33333737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235222696145956-0.235233649911744)×R²
    abs(-1.72045533--1.72050326)×1.0953765788746e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0953765788746e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0953765788746e-05×40589641000000     		ar = 5157.46026534584m²