Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29644 / 42933
↖ ↑ ↗
← S 48.651057°
W 17.160645°		 ← 403.51 m → S 48.651057°
W 17.155152°		 →
↑
403.48 m
↓
↑
403.48 m
↓
S 48.654686°
W 17.160645°		 ← 403.48 m →
162 802 m²		 S 48.654686°
W 17.155152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452339172363281 y=0.655113220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452339172363281 × 216)
    floor (0.452339172363281 × 65536)
    floor (29644.5)     		tx = 29644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655113220214844 × 216)
    floor (0.655113220214844 × 65536)
    floor (42933.5)     		ty = 42933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29644 / 42933 ti = "16/29644/42933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29644/42933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29644 ÷ 216
    29644 ÷ 65536     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42933 ÷ 216
    42933 ÷ 65536     		y = 0.655105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655105590820312 × 2 - 1) × π
    -0.310211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974557169275742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974557169275742))-π/2
    2×atan(0.377359422915261)-π/2
    2×0.360837599165269-π/2
    0.721675198330539-1.57079632675     		φ = -0.84912113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84912113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.651057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29644 KachelY 42933 -0.29950975 -0.84912113 -17.160645 -48.651057
    Oben rechts KachelX + 1 29645 KachelY 42933 -0.29941388 -0.84912113 -17.155152 -48.651057
    Unten links KachelX 29644 KachelY + 1 42934 -0.29950975 -0.84918446 -17.160645 -48.654686
    Unten rechts KachelX + 1 29645 KachelY + 1 42934 -0.29941388 -0.84918446 -17.155152 -48.654686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84912113--0.84918446) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dl = 403.475430000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84912113--0.84918446) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dr = 403.475430000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29941388) × cos(-0.84912113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		do = 403.512767788247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29941388) × cos(-0.84918446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660595625559477 × 6371000     		du = 403.483729007219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84912113)-sin(-0.84918446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660643168720055-0.660595625559477)×R²
    abs(-0.29941388--0.29950975)×4.75431605780896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75431605780896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75431605780896e-05×40589641000000     		ar = 162801.629331147m²