Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29644 / 21180
↖ ↑ ↗
← N 76.395896°
W 98.580322°		 ← 71.84 m → N 76.395896°
W 98.577575°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.395250°
W 98.580322°		 ← 71.84 m →
5 163 m²		 N 76.395250°
W 98.577575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226169586181641 y=0.161594390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226169586181641 × 217)
    floor (0.226169586181641 × 131072)
    floor (29644.5)     		tx = 29644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161594390869141 × 217)
    floor (0.161594390869141 × 131072)
    floor (21180.5)     		ty = 21180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29644 / 21180 ti = "17/29644/21180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29644/21180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29644 ÷ 217
    29644 ÷ 131072     		x = 0.226165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21180 ÷ 217
    21180 ÷ 131072     		y = 0.161590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72055120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161590576171875 × 2 - 1) × π
    0.67681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12628911954721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72055120} λ = -1.72055120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12628911954721))-π/2
    2×atan(8.3836981140993)-π/2
    2×1.45207812364009-π/2
    2.90415624728019-1.57079632675     		φ = 1.33335992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72055120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33335992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.395896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29644 KachelY 21180 -1.72055120 1.33335992 -98.580322 76.395896
    Oben rechts KachelX + 1 29645 KachelY 21180 -1.72050326 1.33335992 -98.577575 76.395896
    Unten links KachelX 29644 KachelY + 1 21181 -1.72055120 1.33334864 -98.580322 76.395250
    Unten rechts KachelX + 1 29645 KachelY + 1 21181 -1.72050326 1.33334864 -98.577575 76.395250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33335992-1.33334864) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dl = 71.8648799989543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33335992-1.33334864) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dr = 71.8648799989543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72055120--1.72050326) × cos(1.33335992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235211732630849 × 6371000     		do = 71.8397174954122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72055120--1.72050326) × cos(1.33334864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235222696145956 × 6371000     		du = 71.8430660351265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33335992)-sin(1.33334864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235211732630849-0.235222696145956)×R²
    abs(-1.72050326--1.72055120)×1.09635151063214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09635151063214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09635151063214e-05×40589641000000     		ar = 5162.87299832275m²