Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29644 / 17876
↖ ↑ ↗
← N 63.025074°
W 17.160645°		 ← 277.05 m → N 63.025074°
W 17.155152°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 63.022583°
W 17.160645°		 ← 277.08 m →
76 768 m²		 N 63.022583°
W 17.155152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452339172363281 y=0.272773742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452339172363281 × 216)
    floor (0.452339172363281 × 65536)
    floor (29644.5)     		tx = 29644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272773742675781 × 216)
    floor (0.272773742675781 × 65536)
    floor (17876.5)     		ty = 17876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29644 / 17876 ti = "16/29644/17876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29644/17876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29644 ÷ 216
    29644 ÷ 65536     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17876 ÷ 216
    17876 ÷ 65536     		y = 0.27276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27276611328125 × 2 - 1) × π
    0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42775261828375))-π/2
    2×atan(4.16931860459008)-π/2
    2×1.33539569152835-π/2
    2.6707913830567-1.57079632675     		φ = 1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29644 KachelY 17876 -0.29950975 1.09999506 -17.160645 63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 29645 KachelY 17876 -0.29941388 1.09999506 -17.155152 63.025074
    Unten links KachelX 29644 KachelY + 1 17877 -0.29950975 1.09995157 -17.160645 63.022583
    Unten rechts KachelX + 1 29645 KachelY + 1 17877 -0.29941388 1.09995157 -17.155152 63.022583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09999506-1.09995157) × R
    4.34899999999239e-05 × 6371000     		dl = 277.074789999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09999506-1.09995157) × R
    4.34899999999239e-05 × 6371000     		dr = 277.074789999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29941388) × cos(1.09999506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 277.053652515258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29941388) × cos(1.09995157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453639282066061 × 6371000     		du = 277.077325477525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09999506)-sin(1.09995157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453639282066061)×R²
    abs(-0.29941388--0.29950975)×3.87580816599287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87580816599287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87580816599287e-05×40589641000000     		ar = 76767.862191724m²