Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29643 / 29802
↖ ↑ ↗
← S 81.271720°
E145.667725°		 ← 185.38 m → S 81.271720°
E145.678711°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
S 81.273387°
E145.667725°		 ← 185.35 m →
34 354 m²		 S 81.273387°
E145.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904647827148438 y=0.909500122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904647827148438 × 215)
    floor (0.904647827148438 × 32768)
    floor (29643.5)     		tx = 29643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909500122070312 × 215)
    floor (0.909500122070312 × 32768)
    floor (29802.5)     		ty = 29802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29643 / 29802 ti = "15/29643/29802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29643/29802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29643 ÷ 215
    29643 ÷ 32768     		x = 0.904632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29802 ÷ 215
    29802 ÷ 32768     		y = 0.90948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904632568359375 × 2 - 1) × π
    0.80926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54238141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.8189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57286927640765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54238141} λ = 2.54238141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57286927640765))-π/2
    2×atan(0.0763162585368699)-π/2
    2×0.076168614482362-π/2
    0.152337228964724-1.57079632675     		φ = -1.41845910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54238141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.667725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41845910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.271720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29643 KachelY 29802 2.54238141 -1.41845910 145.667725 -81.271720
    Oben rechts KachelX + 1 29644 KachelY 29802 2.54257316 -1.41845910 145.678711 -81.271720
    Unten links KachelX 29643 KachelY + 1 29803 2.54238141 -1.41848819 145.667725 -81.273387
    Unten rechts KachelX + 1 29644 KachelY + 1 29803 2.54257316 -1.41848819 145.678711 -81.273387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41845910--1.41848819) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dl = 185.332389999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41845910--1.41848819) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dr = 185.332389999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54238141-2.54257316) × cos(-1.41845910) × R
    0.000191749999999935 × 0.151748704464605 × 6371000     		do = 185.382173510549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54238141-2.54257316) × cos(-1.41848819) × R
    0.000191749999999935 × 0.151719951288585 × 6371000     		du = 185.347047502161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41845910)-sin(-1.41848819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151748704464605-0.151719951288585)×R²
    abs(2.54257316-2.54238141)×2.87531760198023e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87531760198023e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87531760198023e-05×40589641000000     		ar = 34354.066288861m²