Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29643 / 21179
↖ ↑ ↗
← N 76.396542°
W 98.583069°		 ← 71.84 m → N 76.396542°
W 98.580322°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.395896°
W 98.583069°		 ← 71.84 m →
5 163 m²		 N 76.395896°
W 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226161956787109 y=0.161586761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226161956787109 × 217)
    floor (0.226161956787109 × 131072)
    floor (29643.5)     		tx = 29643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161586761474609 × 217)
    floor (0.161586761474609 × 131072)
    floor (21179.5)     		ty = 21179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29643 / 21179 ti = "17/29643/21179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29643/21179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29643 ÷ 217
    29643 ÷ 131072     		x = 0.226158142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21179 ÷ 217
    21179 ÷ 131072     		y = 0.161582946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226158142089844 × 2 - 1) × π
    -0.547683715820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.72059914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161582946777344 × 2 - 1) × π
    0.676834106445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.12633705644683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72059914} λ = -1.72059914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12633705644683))-π/2
    2×atan(8.38410001222704)-π/2
    2×1.45208376116936-π/2
    2.90416752233871-1.57079632675     		φ = 1.33337120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72059914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.583069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33337120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.396542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29643 KachelY 21179 -1.72059914 1.33337120 -98.583069 76.396542
    Oben rechts KachelX + 1 29644 KachelY 21179 -1.72055120 1.33337120 -98.580322 76.396542
    Unten links KachelX 29643 KachelY + 1 21180 -1.72059914 1.33335992 -98.583069 76.395896
    Unten rechts KachelX + 1 29644 KachelY + 1 21180 -1.72055120 1.33335992 -98.580322 76.395896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33337120-1.33335992) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dl = 71.8648800003689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33337120-1.33335992) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dr = 71.8648800003689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72059914--1.72055120) × cos(1.33337120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235200769085815 × 6371000     		do = 71.836368946557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72059914--1.72055120) × cos(1.33335992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235211732630849 × 6371000     		du = 71.8397174954122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33337120)-sin(1.33335992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235200769085815-0.235211732630849)×R²
    abs(-1.72055120--1.72059914)×1.09635450344925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09635450344925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09635450344925e-05×40589641000000     		ar = 5162.63235556679m²