Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29642 / 42917
↖ ↑ ↗
← S 48.592959°
W 17.171631°		 ← 404.02 m → S 48.592959°
W 17.166138°		 →
↑
403.99 m
↓
↑
403.99 m
↓
S 48.596592°
W 17.171631°		 ← 403.99 m →
163 212 m²		 S 48.596592°
W 17.166138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452308654785156 y=0.654869079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452308654785156 × 216)
    floor (0.452308654785156 × 65536)
    floor (29642.5)     		tx = 29642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654869079589844 × 216)
    floor (0.654869079589844 × 65536)
    floor (42917.5)     		ty = 42917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29642 / 42917 ti = "16/29642/42917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29642/42917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29642 ÷ 216
    29642 ÷ 65536     		x = 0.452301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42917 ÷ 216
    42917 ÷ 65536     		y = 0.654861450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.09539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29970150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654861450195312 × 2 - 1) × π
    -0.309722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9730231884879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29970150} λ = -0.29970150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9730231884879))-π/2
    2×atan(0.377938729228905)-π/2
    2×0.361344597907144-π/2
    0.722689195814288-1.57079632675     		φ = -0.84810713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29970150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.171631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84810713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.592959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29642 KachelY 42917 -0.29970150 -0.84810713 -17.171631 -48.592959
    Oben rechts KachelX + 1 29643 KachelY 42917 -0.29960562 -0.84810713 -17.166138 -48.592959
    Unten links KachelX 29642 KachelY + 1 42918 -0.29970150 -0.84817054 -17.171631 -48.596592
    Unten rechts KachelX + 1 29643 KachelY + 1 42918 -0.29960562 -0.84817054 -17.166138 -48.596592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84810713--0.84817054) × R
    6.3409999999986e-05 × 6371000     		dl = 403.985109999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84810713--0.84817054) × R
    6.3409999999986e-05 × 6371000     		dr = 403.985109999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29970150--0.29960562) × cos(-0.84810713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.661404038831045 × 6371000     		do = 404.01963599789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29970150--0.29960562) × cos(-0.84817054) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.661356478111909 × 6371000     		du = 403.990583462216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84810713)-sin(-0.84817054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661404038831045-0.661356478111909)×R²
    abs(-0.29960562--0.29970150)×4.75607191353644e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75607191353644e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75607191353644e-05×40589641000000     		ar = 163212.048749692m²