Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29642 / 29798
↖ ↑ ↗
← S 81.265048°
E145.656738°		 ← 185.52 m → S 81.265048°
E145.667725°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 81.266717°
E145.656738°		 ← 185.49 m →
34 416 m²		 S 81.266717°
E145.667725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904617309570312 y=0.909378051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904617309570312 × 215)
    floor (0.904617309570312 × 32768)
    floor (29642.5)     		tx = 29642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909378051757812 × 215)
    floor (0.909378051757812 × 32768)
    floor (29798.5)     		ty = 29798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29642 / 29798 ti = "15/29642/29798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29642/29798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29642 ÷ 215
    29642 ÷ 32768     		x = 0.90460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29798 ÷ 215
    29798 ÷ 32768     		y = 0.90936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90460205078125 × 2 - 1) × π
    0.8092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54218966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.8187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57210228601373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54218966} λ = 2.54218966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57210228601373))-π/2
    2×atan(0.0763748148272532)-π/2
    2×0.0762268314469441-π/2
    0.152453662893888-1.57079632675     		φ = -1.41834266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54218966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41834266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.265048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29642 KachelY 29798 2.54218966 -1.41834266 145.656738 -81.265048
    Oben rechts KachelX + 1 29643 KachelY 29798 2.54238141 -1.41834266 145.667725 -81.265048
    Unten links KachelX 29642 KachelY + 1 29799 2.54218966 -1.41837178 145.656738 -81.266717
    Unten rechts KachelX + 1 29643 KachelY + 1 29799 2.54238141 -1.41837178 145.667725 -81.266717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41834266--1.41837178) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41834266--1.41837178) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54218966-2.54238141) × cos(-1.41834266) × R
    0.000191749999999935 × 0.151863794956416 × 6371000     		do = 185.522772572647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54218966-2.54238141) × cos(-1.41837178) × R
    0.000191749999999935 × 0.151835012642376 × 6371000     		du = 185.48761096811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41834266)-sin(-1.41837178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151863794956416-0.151835012642376)×R²
    abs(2.54238141-2.54218966)×2.87823140399102e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87823140399102e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87823140399102e-05×40589641000000     		ar = 34415.5761574885m²