Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29642 / 29796
↖ ↑ ↗
← S 81.261711°
E145.656738°		 ← 185.59 m → S 81.261711°
E145.667725°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
S 81.263380°
E145.656738°		 ← 185.56 m →
34 440 m²		 S 81.263380°
E145.667725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904617309570312 y=0.909317016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904617309570312 × 215)
    floor (0.904617309570312 × 32768)
    floor (29642.5)     		tx = 29642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909317016601562 × 215)
    floor (0.909317016601562 × 32768)
    floor (29796.5)     		ty = 29796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29642 / 29796 ti = "15/29642/29796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29642/29796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29642 ÷ 215
    29642 ÷ 32768     		x = 0.90460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29796 ÷ 215
    29796 ÷ 32768     		y = 0.9093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90460205078125 × 2 - 1) × π
    0.8092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54218966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57171879081677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54218966} λ = 2.54218966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57171879081677))-π/2
    2×atan(0.0764041098187934)-π/2
    2×0.0762559564837004-π/2
    0.152511912967401-1.57079632675     		φ = -1.41828441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54218966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41828441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.261711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29642 KachelY 29796 2.54218966 -1.41828441 145.656738 -81.261711
    Oben rechts KachelX + 1 29643 KachelY 29796 2.54238141 -1.41828441 145.667725 -81.261711
    Unten links KachelX 29642 KachelY + 1 29797 2.54218966 -1.41831354 145.656738 -81.263380
    Unten rechts KachelX + 1 29643 KachelY + 1 29797 2.54238141 -1.41831354 145.667725 -81.263380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41828441--1.41831354) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000     		dl = 185.587229999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41828441--1.41831354) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000     		dr = 185.587229999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54218966-2.54238141) × cos(-1.41828441) × R
    0.000191749999999935 × 0.151921369082067 × 6371000     		do = 185.593107384327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54218966-2.54238141) × cos(-1.41831354) × R
    0.000191749999999935 × 0.151892577141679 × 6371000     		du = 185.557934019865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41828441)-sin(-1.41831354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151921369082067-0.151892577141679)×R²
    abs(2.54238141-2.54218966)×2.87919403880732e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87919403880732e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87919403880732e-05×40589641000000     		ar = 34440.4468447727m²