Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29641 / 42915
↖ ↑ ↗
← S 48.585692°
W 17.177124°		 ← 404.04 m → S 48.585692°
W 17.171631°		 →
↑
404.05 m
↓
↑
404.05 m
↓
S 48.589326°
W 17.177124°		 ← 404.01 m →
163 244 m²		 S 48.589326°
W 17.171631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452293395996094 y=0.654838562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452293395996094 × 216)
    floor (0.452293395996094 × 65536)
    floor (29641.5)     		tx = 29641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654838562011719 × 216)
    floor (0.654838562011719 × 65536)
    floor (42915.5)     		ty = 42915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29641 / 42915 ti = "16/29641/42915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29641/42915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29641 ÷ 216
    29641 ÷ 65536     		x = 0.452285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42915 ÷ 216
    42915 ÷ 65536     		y = 0.654830932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452285766601562 × 2 - 1) × π
    -0.095428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29979737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.309661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.97283144088942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29979737} λ = -0.29979737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97283144088942))-π/2
    2×atan(0.378011205020915)-π/2
    2×0.361408013784952-π/2
    0.722816027569904-1.57079632675     		φ = -0.84798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29979737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.177124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.585692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29641 KachelY 42915 -0.29979737 -0.84798030 -17.177124 -48.585692
    Oben rechts KachelX + 1 29642 KachelY 42915 -0.29970150 -0.84798030 -17.171631 -48.585692
    Unten links KachelX 29641 KachelY + 1 42916 -0.29979737 -0.84804372 -17.177124 -48.589326
    Unten rechts KachelX + 1 29642 KachelY + 1 42916 -0.29970150 -0.84804372 -17.171631 -48.589326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84798030--0.84804372) × R
    6.34199999999252e-05 × 6371000     		dl = 404.048819999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84798030--0.84804372) × R
    6.34199999999252e-05 × 6371000     		dr = 404.048819999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29979737--0.29970150) × cos(-0.84798030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661499159790408 × 6371000     		do = 404.035596665248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29979737--0.29970150) × cos(-0.84804372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661451596890788 × 6371000     		du = 404.006545827855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84798030)-sin(-0.84804372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661499159790408-0.661451596890788)×R²
    abs(-0.29970150--0.29979737)×4.756289961938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.756289961938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.756289961938e-05×40589641000000     		ar = 163244.237147078m²