Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29641 / 42313
↖ ↑ ↗
← S 46.350719°
W 17.177124°		 ← 421.59 m → S 46.350719°
W 17.171631°		 →
↑
421.63 m
↓
↑
421.63 m
↓
S 46.354511°
W 17.177124°		 ← 421.56 m →
177 751 m²		 S 46.354511°
W 17.171631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452293395996094 y=0.645652770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452293395996094 × 216)
    floor (0.452293395996094 × 65536)
    floor (29641.5)     		tx = 29641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645652770996094 × 216)
    floor (0.645652770996094 × 65536)
    floor (42313.5)     		ty = 42313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29641 / 42313 ti = "16/29641/42313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29641/42313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29641 ÷ 216
    29641 ÷ 65536     		x = 0.452285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42313 ÷ 216
    42313 ÷ 65536     		y = 0.645645141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452285766601562 × 2 - 1) × π
    -0.095428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29979737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645645141601562 × 2 - 1) × π
    -0.291290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.915115413746872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29979737} λ = -0.29979737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915115413746872))-π/2
    2×atan(0.400470403633722)-π/2
    2×0.380911831696004-π/2
    0.761823663392007-1.57079632675     		φ = -0.80897266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29979737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.177124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80897266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.350719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29641 KachelY 42313 -0.29979737 -0.80897266 -17.177124 -46.350719
    Oben rechts KachelX + 1 29642 KachelY 42313 -0.29970150 -0.80897266 -17.171631 -46.350719
    Unten links KachelX 29641 KachelY + 1 42314 -0.29979737 -0.80903884 -17.177124 -46.354511
    Unten rechts KachelX + 1 29642 KachelY + 1 42314 -0.29970150 -0.80903884 -17.171631 -46.354511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80897266--0.80903884) × R
    6.61800000000268e-05 × 6371000     		dl = 421.632780000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80897266--0.80903884) × R
    6.61800000000268e-05 × 6371000     		dr = 421.632780000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29979737--0.29970150) × cos(-0.80897266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690242158148813 × 6371000     		do = 421.591468535691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29979737--0.29970150) × cos(-0.80903884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690194270215934 × 6371000     		du = 421.562219171958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80897266)-sin(-0.80903884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690242158148813-0.690194270215934)×R²
    abs(-0.29970150--0.29979737)×4.78879328787984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78879328787984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78879328787984e-05×40589641000000     		ar = 177750.616722487m²