Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29640 / 42912
↖ ↑ ↗
← S 48.574790°
W 17.182617°		 ← 404.12 m → S 48.574790°
W 17.177124°		 →
↑
404.11 m
↓
↑
404.11 m
↓
S 48.578424°
W 17.182617°		 ← 404.09 m →
163 305 m²		 S 48.578424°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452278137207031 y=0.654792785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452278137207031 × 216)
    floor (0.452278137207031 × 65536)
    floor (29640.5)     		tx = 29640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654792785644531 × 216)
    floor (0.654792785644531 × 65536)
    floor (42912.5)     		ty = 42912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29640 / 42912 ti = "16/29640/42912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29640/42912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29640 ÷ 216
    29640 ÷ 65536     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42912 ÷ 216
    42912 ÷ 65536     		y = 0.65478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972543819491699))-π/2
    2×atan(0.378119944769246)-π/2
    2×0.361503154701528-π/2
    0.723006309403057-1.57079632675     		φ = -0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29640 KachelY 42912 -0.29989324 -0.84779002 -17.182617 -48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 29641 KachelY 42912 -0.29979737 -0.84779002 -17.177124 -48.574790
    Unten links KachelX 29640 KachelY + 1 42913 -0.29989324 -0.84785345 -17.182617 -48.578424
    Unten rechts KachelX + 1 29641 KachelY + 1 42913 -0.29979737 -0.84785345 -17.177124 -48.578424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84779002--0.84785345) × R
    6.34299999999755e-05 × 6371000     		dl = 404.112529999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84779002--0.84785345) × R
    6.34299999999755e-05 × 6371000     		dr = 404.112529999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(-0.84779002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 404.122748586158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(-0.84785345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661594285106235 × 6371000     		du = 404.093698044773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84779002)-sin(-0.84785345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661594285106235)×R²
    abs(-0.29979737--0.29989324)×4.75624149860465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75624149860465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75624149860465e-05×40589641000000     		ar = 163305.196572655m²