Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29640 / 42284
↖ ↑ ↗
← S 46.240652°
W 17.182617°		 ← 422.44 m → S 46.240652°
W 17.177124°		 →
↑
422.46 m
↓
↑
422.46 m
↓
S 46.244451°
W 17.182617°		 ← 422.41 m →
178 458 m²		 S 46.244451°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452278137207031 y=0.645210266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452278137207031 × 216)
    floor (0.452278137207031 × 65536)
    floor (29640.5)     		tx = 29640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645210266113281 × 216)
    floor (0.645210266113281 × 65536)
    floor (42284.5)     		ty = 42284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29640 / 42284 ti = "16/29640/42284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29640/42284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29640 ÷ 216
    29640 ÷ 65536     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42284 ÷ 216
    42284 ÷ 65536     		y = 0.64520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.2904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912335073568909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912335073568909))-π/2
    2×atan(0.401585396899048)-π/2
    2×0.3818723509647-π/2
    0.7637447019294-1.57079632675     		φ = -0.80705162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80705162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.240652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29640 KachelY 42284 -0.29989324 -0.80705162 -17.182617 -46.240652
    Oben rechts KachelX + 1 29641 KachelY 42284 -0.29979737 -0.80705162 -17.177124 -46.240652
    Unten links KachelX 29640 KachelY + 1 42285 -0.29989324 -0.80711793 -17.182617 -46.244451
    Unten rechts KachelX + 1 29641 KachelY + 1 42285 -0.29979737 -0.80711793 -17.177124 -46.244451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80705162--0.80711793) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dl = 422.461010000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80705162--0.80711793) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dr = 422.461010000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(-0.80705162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691630906793315 × 6371000     		do = 422.439699223357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(-0.80711793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69158301280064 × 6371000     		du = 422.410446158375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80705162)-sin(-0.80711793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691630906793315-0.69158301280064)×R²
    abs(-0.29979737--0.29989324)×4.78939926751298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78939926751298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78939926751298e-05×40589641000000     		ar = 178458.122923824m²