Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29640 / 29800
↖ ↑ ↗
← S 81.268385°
E145.634766°		 ← 185.44 m → S 81.268385°
E145.645752°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 81.270053°
E145.634766°		 ← 185.41 m →
34 389 m²		 S 81.270053°
E145.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904556274414062 y=0.909439086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904556274414062 × 215)
    floor (0.904556274414062 × 32768)
    floor (29640.5)     		tx = 29640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909439086914062 × 215)
    floor (0.909439086914062 × 32768)
    floor (29800.5)     		ty = 29800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29640 / 29800 ti = "15/29640/29800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29640/29800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29640 ÷ 215
    29640 ÷ 32768     		x = 0.904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29800 ÷ 215
    29800 ÷ 32768     		y = 0.909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904541015625 × 2 - 1) × π
    0.80908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54180617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.81884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57248578121069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54180617} λ = 2.54180617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57248578121069))-π/2
    2×atan(0.0763455310680476)-π/2
    2×0.0761977174478594-π/2
    0.152395434895719-1.57079632675     		φ = -1.41840089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54180617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41840089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.268385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29640 KachelY 29800 2.54180617 -1.41840089 145.634766 -81.268385
    Oben rechts KachelX + 1 29641 KachelY 29800 2.54199791 -1.41840089 145.645752 -81.268385
    Unten links KachelX 29640 KachelY + 1 29801 2.54180617 -1.41843000 145.634766 -81.270053
    Unten rechts KachelX + 1 29641 KachelY + 1 29801 2.54199791 -1.41843000 145.645752 -81.270053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41840089--1.41843000) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41840089--1.41843000) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54180617-2.54199791) × cos(-1.41840089) × R
    0.000191739999999996 × 0.151806240083687 × 6371000     		do = 185.442789705595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54180617-2.54199791) × cos(-1.41843000) × R
    0.000191739999999996 × 0.151777467396358 × 6371000     		du = 185.407641694534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41840089)-sin(-1.41843000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151806240083687-0.151777467396358)×R²
    abs(2.54199791-2.54180617)×2.8772687328843e-05×R²
    0.000191739999999996×2.8772687328843e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.8772687328843e-05×40589641000000     		ar = 34388.9252759579m²