Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29640 / 22745
↖ ↑ ↗
← N 48.133101°
W 17.182617°		 ← 407.64 m → N 48.133101°
W 17.177124°		 →
↑
407.68 m
↓
↑
407.68 m
↓
N 48.129435°
W 17.182617°		 ← 407.67 m →
166 193 m²		 N 48.129435°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452278137207031 y=0.347068786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452278137207031 × 216)
    floor (0.452278137207031 × 65536)
    floor (29640.5)     		tx = 29640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347068786621094 × 216)
    floor (0.347068786621094 × 65536)
    floor (22745.5)     		ty = 22745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29640 / 22745 ti = "16/29640/22745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29640/22745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29640 ÷ 216
    29640 ÷ 65536     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22745 ÷ 216
    22745 ÷ 65536     		y = 0.347061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347061157226562 × 2 - 1) × π
    0.305877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960943089783646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960943089783646))-π/2
    2×atan(2.61416069949576)-π/2
    2×1.2054387062389-π/2
    2.4108774124778-1.57079632675     		φ = 0.84008109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84008109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.133101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29640 KachelY 22745 -0.29989324 0.84008109 -17.182617 48.133101
    Oben rechts KachelX + 1 29641 KachelY 22745 -0.29979737 0.84008109 -17.177124 48.133101
    Unten links KachelX 29640 KachelY + 1 22746 -0.29989324 0.84001710 -17.182617 48.129435
    Unten rechts KachelX + 1 29641 KachelY + 1 22746 -0.29979737 0.84001710 -17.177124 48.129435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84008109-0.84001710) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dl = 407.680290000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84008109-0.84001710) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dr = 407.680290000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(0.84008109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		do = 407.641248347713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29979737) × cos(0.84001710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667450092346371 × 6371000     		du = 407.670353490525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84008109)-sin(0.84001710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667402440536296-0.667450092346371)×R²
    abs(-0.29979737--0.29989324)×4.76518100752665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76518100752665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76518100752665e-05×40589641000000     		ar = 166193.235195856m²