Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29639 / 42285
↖ ↑ ↗
← S 46.244451°
W 17.188110°		 ← 422.45 m → S 46.244451°
W 17.182617°		 →
↑
422.40 m
↓
↑
422.40 m
↓
S 46.248250°
W 17.188110°		 ← 422.43 m →
178 437 m²		 S 46.248250°
W 17.182617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452262878417969 y=0.645225524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452262878417969 × 216)
    floor (0.452262878417969 × 65536)
    floor (29639.5)     		tx = 29639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645225524902344 × 216)
    floor (0.645225524902344 × 65536)
    floor (42285.5)     		ty = 42285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29639 / 42285 ti = "16/29639/42285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29639/42285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29639 ÷ 216
    29639 ÷ 65536     		x = 0.452255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42285 ÷ 216
    42285 ÷ 65536     		y = 0.645217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452255249023438 × 2 - 1) × π
    -0.095489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29998912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645217895507812 × 2 - 1) × π
    -0.290435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.912430947368149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29998912} λ = -0.29998912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912430947368149))-π/2
    2×atan(0.401546897226913)-π/2
    2×0.381839197471409-π/2
    0.763678394942818-1.57079632675     		φ = -0.80711793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29998912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.188110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80711793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.244451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29639 KachelY 42285 -0.29998912 -0.80711793 -17.188110 -46.244451
    Oben rechts KachelX + 1 29640 KachelY 42285 -0.29989324 -0.80711793 -17.182617 -46.244451
    Unten links KachelX 29639 KachelY + 1 42286 -0.29998912 -0.80718423 -17.188110 -46.248250
    Unten rechts KachelX + 1 29640 KachelY + 1 42286 -0.29989324 -0.80718423 -17.182617 -46.248250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80711793--0.80718423) × R
    6.62999999999636e-05 × 6371000     		dl = 422.397299999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80711793--0.80718423) × R
    6.62999999999636e-05 × 6371000     		dr = 422.397299999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29998912--0.29989324) × cos(-0.80711793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.69158301280064 × 6371000     		do = 422.454506912097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29998912--0.29989324) × cos(-0.80718423) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.691535122990491 × 6371000     		du = 422.425253350691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80711793)-sin(-0.80718423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69158301280064-0.691535122990491)×R²
    abs(-0.29989324--0.29998912)×4.78898101482494e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78898101482494e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78898101482494e-05×40589641000000     		ar = 178437.464844835m²