Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29639 / 29790
↖ ↑ ↗
← S 81.251691°
E145.623779°		 ← 185.80 m → S 81.251691°
E145.634766°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 81.253362°
E145.623779°		 ← 185.77 m →
34 515 m²		 S 81.253362°
E145.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904525756835938 y=0.909133911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904525756835938 × 215)
    floor (0.904525756835938 × 32768)
    floor (29639.5)     		tx = 29639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909133911132812 × 215)
    floor (0.909133911132812 × 32768)
    floor (29790.5)     		ty = 29790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29639 / 29790 ti = "15/29639/29790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29639/29790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29639 ÷ 215
    29639 ÷ 32768     		x = 0.904510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29790 ÷ 215
    29790 ÷ 32768     		y = 0.90911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904510498046875 × 2 - 1) × π
    0.80902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54161442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.8182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57056830522589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54161442} λ = 2.54161442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57056830522589))-π/2
    2×atan(0.076492062230514)-π/2
    2×0.0763433978608634-π/2
    0.152686795721727-1.57079632675     		φ = -1.41810953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54161442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41810953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.251691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29639 KachelY 29790 2.54161442 -1.41810953 145.623779 -81.251691
    Oben rechts KachelX + 1 29640 KachelY 29790 2.54180617 -1.41810953 145.634766 -81.251691
    Unten links KachelX 29639 KachelY + 1 29791 2.54161442 -1.41813869 145.623779 -81.253362
    Unten rechts KachelX + 1 29640 KachelY + 1 29791 2.54180617 -1.41813869 145.634766 -81.253362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41810953--1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41810953--1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54161442-2.54180617) × cos(-1.41810953) × R
    0.000191749999999935 × 0.152094216852949 × 6371000     		do = 185.804265005511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54161442-2.54180617) × cos(-1.41813869) × R
    0.000191749999999935 × 0.152065396035741 × 6371000     		du = 185.769056363993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41810953)-sin(-1.41813869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152094216852949-0.152065396035741)×R²
    abs(2.54180617-2.54161442)×2.88208172080084e-05×R²
    0.000191749999999935×2.88208172080084e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.88208172080084e-05×40589641000000     		ar = 34515.1411337771m²