Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29638 / 14883
↖ ↑ ↗
← N 69.590144°
W 17.193603°		 ← 213 m → N 69.590144°
W 17.188110°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
N 69.588228°
W 17.193603°		 ← 213.02 m →
45 381 m²		 N 69.588228°
W 17.188110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452247619628906 y=0.227104187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452247619628906 × 216)
    floor (0.452247619628906 × 65536)
    floor (29638.5)     		tx = 29638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227104187011719 × 216)
    floor (0.227104187011719 × 65536)
    floor (14883.5)     		ty = 14883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29638 / 14883 ti = "16/29638/14883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29638/14883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29638 ÷ 216
    29638 ÷ 65536     		x = 0.452239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14883 ÷ 216
    14883 ÷ 65536     		y = 0.227096557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.09552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30008499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227096557617188 × 2 - 1) × π
    0.545806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71470289940941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30008499} λ = -0.30008499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71470289940941))-π/2
    2×atan(5.55502486600112)-π/2
    2×1.39268673229419-π/2
    2.78537346458839-1.57079632675     		φ = 1.21457714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30008499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.193603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21457714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.590144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29638 KachelY 14883 -0.30008499 1.21457714 -17.193603 69.590144
    Oben rechts KachelX + 1 29639 KachelY 14883 -0.29998912 1.21457714 -17.188110 69.590144
    Unten links KachelX 29638 KachelY + 1 14884 -0.30008499 1.21454370 -17.193603 69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 29639 KachelY + 1 14884 -0.29998912 1.21454370 -17.188110 69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21457714-1.21454370) × R
    3.34400000001622e-05 × 6371000     		dl = 213.046240001034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21457714-1.21454370) × R
    3.34400000001622e-05 × 6371000     		dr = 213.046240001034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30008499--0.29998912) × cos(1.21457714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348733272838046 × 6371000     		do = 213.002018041547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30008499--0.29998912) × cos(1.21454370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 213.021160441257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21457714)-sin(1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348733272838046-0.348764613347221)×R²
    abs(-0.29998912--0.30008499)×3.13405091757479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13405091757479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13405091757479e-05×40589641000000     		ar = 45381.3181684715m²