Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29637 / 22739
↖ ↑ ↗
← N 48.155093°
W 17.199097°		 ← 407.51 m → N 48.155093°
W 17.193603°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
N 48.151428°
W 17.199097°		 ← 407.54 m →
166 061 m²		 N 48.151428°
W 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452232360839844 y=0.346977233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452232360839844 × 216)
    floor (0.452232360839844 × 65536)
    floor (29637.5)     		tx = 29637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346977233886719 × 216)
    floor (0.346977233886719 × 65536)
    floor (22739.5)     		ty = 22739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29637 / 22739 ti = "16/29637/22739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29637/22739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29637 ÷ 216
    29637 ÷ 65536     		x = 0.452224731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22739 ÷ 216
    22739 ÷ 65536     		y = 0.346969604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452224731445312 × 2 - 1) × π
    -0.095550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30018087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346969604492188 × 2 - 1) × π
    0.306060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.961518332579086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30018087} λ = -0.30018087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961518332579086))-π/2
    2×atan(2.61566490920569)-π/2
    2×1.20563062434786-π/2
    2.41126124869572-1.57079632675     		φ = 0.84046492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30018087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.199097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84046492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.155093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29637 KachelY 22739 -0.30018087 0.84046492 -17.199097 48.155093
    Oben rechts KachelX + 1 29638 KachelY 22739 -0.30008499 0.84046492 -17.193603 48.155093
    Unten links KachelX 29637 KachelY + 1 22740 -0.30018087 0.84040096 -17.199097 48.151428
    Unten rechts KachelX + 1 29638 KachelY + 1 22740 -0.30008499 0.84040096 -17.193603 48.151428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84046492-0.84040096) × R
    6.3959999999974e-05 × 6371000     		dl = 407.489159999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84046492-0.84040096) × R
    6.3959999999974e-05 × 6371000     		dr = 407.489159999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30018087--0.30008499) × cos(0.84046492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		do = 407.509134488872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30018087--0.30008499) × cos(0.84040096) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		du = 407.538239028136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84046492)-sin(0.84040096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667116554238197-0.667164200090286)×R²
    abs(-0.30008499--0.30018087)×4.7645852089051e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7645852089051e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7645852089051e-05×40589641000000     		ar = 166061.484854027m²