Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29637 / 13625
↖ ↑ ↗
← N 71.868199°
W 17.199097°		 ← 190.10 m → N 71.868199°
W 17.193603°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
N 71.866490°
W 17.199097°		 ← 190.12 m →
36 129 m²		 N 71.866490°
W 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452232360839844 y=0.207908630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452232360839844 × 216)
    floor (0.452232360839844 × 65536)
    floor (29637.5)     		tx = 29637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207908630371094 × 216)
    floor (0.207908630371094 × 65536)
    floor (13625.5)     		ty = 13625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29637 / 13625 ti = "16/29637/13625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29637/13625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29637 ÷ 216
    29637 ÷ 65536     		x = 0.452224731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13625 ÷ 216
    13625 ÷ 65536     		y = 0.207901000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452224731445312 × 2 - 1) × π
    -0.095550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30018087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207901000976562 × 2 - 1) × π
    0.584197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83531213885347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30018087} λ = -0.30018087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83531213885347))-π/2
    2×atan(6.26709004246455)-π/2
    2×1.41256651479066-π/2
    2.82513302958132-1.57079632675     		φ = 1.25433670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30018087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.199097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25433670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.868199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29637 KachelY 13625 -0.30018087 1.25433670 -17.199097 71.868199
    Oben rechts KachelX + 1 29638 KachelY 13625 -0.30008499 1.25433670 -17.193603 71.868199
    Unten links KachelX 29637 KachelY + 1 13626 -0.30018087 1.25430687 -17.199097 71.866490
    Unten rechts KachelX + 1 29638 KachelY + 1 13626 -0.30008499 1.25430687 -17.193603 71.866490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25433670-1.25430687) × R
    2.98300000001195e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25433670-1.25430687) × R
    2.98300000001195e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30018087--0.30008499) × cos(1.25433670) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311203948572421 × 6371000     		do = 190.099392567293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30018087--0.30008499) × cos(1.25430687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311232297170117 × 6371000     		du = 190.116709350151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25433670)-sin(1.25430687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311203948572421-0.311232297170117)×R²
    abs(-0.30008499--0.30018087)×2.83485976956266e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.83485976956266e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.83485976956266e-05×40589641000000     		ar = 36129.4514555406m²