Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29636 / 42295
↖ ↑ ↗
← S 46.282428°
W 17.204590°		 ← 422.12 m → S 46.282428°
W 17.199097°		 →
↑
422.14 m
↓
↑
422.14 m
↓
S 46.286224°
W 17.204590°		 ← 422.09 m →
178 188 m²		 S 46.286224°
W 17.199097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452217102050781 y=0.645378112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452217102050781 × 216)
    floor (0.452217102050781 × 65536)
    floor (29636.5)     		tx = 29636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645378112792969 × 216)
    floor (0.645378112792969 × 65536)
    floor (42295.5)     		ty = 42295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29636 / 42295 ti = "16/29636/42295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29636/42295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29636 ÷ 216
    29636 ÷ 65536     		x = 0.45220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42295 ÷ 216
    42295 ÷ 65536     		y = 0.645370483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30027674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645370483398438 × 2 - 1) × π
    -0.290740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.91338968536055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30027674} λ = -0.30027674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91338968536055))-π/2
    2×atan(0.401162103448492)-π/2
    2×0.381507788804122-π/2
    0.763015577608243-1.57079632675     		φ = -0.80778075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30027674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.204590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80778075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.282428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29636 KachelY 42295 -0.30027674 -0.80778075 -17.204590 -46.282428
    Oben rechts KachelX + 1 29637 KachelY 42295 -0.30018087 -0.80778075 -17.199097 -46.282428
    Unten links KachelX 29636 KachelY + 1 42296 -0.30027674 -0.80784701 -17.204590 -46.286224
    Unten rechts KachelX + 1 29637 KachelY + 1 42296 -0.30018087 -0.80784701 -17.199097 -46.286224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80778075--0.80784701) × R
    6.62599999999847e-05 × 6371000     		dl = 422.142459999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80778075--0.80784701) × R
    6.62599999999847e-05 × 6371000     		dr = 422.142459999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30027674--0.30018087) × cos(-0.80778075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691104108030542 × 6371000     		do = 422.117936981805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30027674--0.30018087) × cos(-0.80784701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691056216752417 × 6371000     		du = 422.088685574836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80778075)-sin(-0.80784701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691104108030542-0.691056216752417)×R²
    abs(-0.30018087--0.30027674)×4.78912781248786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78912781248786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78912781248786e-05×40589641000000     		ar = 178187.730262138m²