Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29636 / 29804
↖ ↑ ↗
← S 81.275053°
E145.590821°		 ← 185.30 m → S 81.275053°
E145.601806°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
S 81.276720°
E145.590821°		 ← 185.27 m →
34 339 m²		 S 81.276720°
E145.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904434204101562 y=0.909561157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904434204101562 × 215)
    floor (0.904434204101562 × 32768)
    floor (29636.5)     		tx = 29636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909561157226562 × 215)
    floor (0.909561157226562 × 32768)
    floor (29804.5)     		ty = 29804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29636 / 29804 ti = "15/29636/29804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29636/29804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29636 ÷ 215
    29636 ÷ 32768     		x = 0.9044189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29804 ÷ 215
    29804 ÷ 32768     		y = 0.9095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9044189453125 × 2 - 1) × π
    0.808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54103918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57325277160461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54103918} λ = 2.54103918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57325277160461))-π/2
    2×atan(0.0762869972294151)-π/2
    2×0.076139522546369-π/2
    0.152279045092738-1.57079632675     		φ = -1.41851728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54103918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.590821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41851728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.275053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29636 KachelY 29804 2.54103918 -1.41851728 145.590821 -81.275053
    Oben rechts KachelX + 1 29637 KachelY 29804 2.54123092 -1.41851728 145.601806 -81.275053
    Unten links KachelX 29636 KachelY + 1 29805 2.54103918 -1.41854637 145.590821 -81.276720
    Unten rechts KachelX + 1 29637 KachelY + 1 29805 2.54123092 -1.41854637 145.601806 -81.276720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41851728--1.41854637) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dl = 185.332389999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41851728--1.41854637) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dr = 185.332389999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54103918-2.54123092) × cos(-1.41851728) × R
    0.000191739999999996 × 0.151691197984176 × 6371000     		do = 185.302257090762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54103918-2.54123092) × cos(-1.41854637) × R
    0.000191739999999996 × 0.151662444551401 × 6371000     		du = 185.267132600593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41851728)-sin(-1.41854637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151691197984176-0.151662444551401)×R²
    abs(2.54123092-2.54103918)×2.87534327748362e-05×R²
    0.000191739999999996×2.87534327748362e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.87534327748362e-05×40589641000000     		ar = 34339.2553281661m²