Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29636 / 14912
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W 17.204590°		 ← 213.56 m → N 69.534518°
W 17.199097°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
N 69.532597°
W 17.204590°		 ← 213.58 m →
45 622 m²		 N 69.532597°
W 17.199097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452217102050781 y=0.227546691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452217102050781 × 216)
    floor (0.452217102050781 × 65536)
    floor (29636.5)     		tx = 29636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227546691894531 × 216)
    floor (0.227546691894531 × 65536)
    floor (14912.5)     		ty = 14912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29636 / 14912 ti = "16/29636/14912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29636/14912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29636 ÷ 216
    29636 ÷ 65536     		x = 0.45220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14912 ÷ 216
    14912 ÷ 65536     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30027674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30027674} λ = -0.30027674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30027674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.204590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29636 KachelY 14912 -0.30027674 1.21360628 -17.204590 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 29637 KachelY 14912 -0.30018087 1.21360628 -17.199097 69.534518
    Unten links KachelX 29636 KachelY + 1 14913 -0.30027674 1.21357275 -17.204590 69.532597
    Unten rechts KachelX + 1 29637 KachelY + 1 14913 -0.30018087 1.21357275 -17.199097 69.532597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21357275) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dl = 213.619630000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21357275) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dr = 213.619630000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30027674--0.30018087) × cos(1.21360628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 213.557680303192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30027674--0.30018087) × cos(1.21357275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349674433197973 × 6371000     		du = 213.576867278999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21357275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349674433197973)×R²
    abs(-0.30018087--0.30027674)×3.14134904943475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14134904943475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14134904943475e-05×40589641000000     		ar = 45622.1620119916m²