Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29635 / 17858
↖ ↑ ↗
← N 63.069891°
W 17.210083°		 ← 276.63 m → N 63.069891°
W 17.204590°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 63.067402°
W 17.210083°		 ← 276.65 m →
76 544 m²		 N 63.067402°
W 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452201843261719 y=0.272499084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452201843261719 × 216)
    floor (0.452201843261719 × 65536)
    floor (29635.5)     		tx = 29635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272499084472656 × 216)
    floor (0.272499084472656 × 65536)
    floor (17858.5)     		ty = 17858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29635 / 17858 ti = "16/29635/17858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29635/17858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29635 ÷ 216
    29635 ÷ 65536     		x = 0.452194213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17858 ÷ 216
    17858 ÷ 65536     		y = 0.272491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452194213867188 × 2 - 1) × π
    -0.095611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30037261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272491455078125 × 2 - 1) × π
    0.45501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42947834667007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30037261} λ = -0.30037261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42947834667007))-π/2
    2×atan(4.17651992803457)-π/2
    2×1.33578678631677-π/2
    2.67157357263353-1.57079632675     		φ = 1.10077725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30037261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.210083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10077725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.069891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29635 KachelY 17858 -0.30037261 1.10077725 -17.210083 63.069891
    Oben rechts KachelX + 1 29636 KachelY 17858 -0.30027674 1.10077725 -17.204590 63.069891
    Unten links KachelX 29635 KachelY + 1 17859 -0.30037261 1.10073382 -17.210083 63.067402
    Unten rechts KachelX + 1 29636 KachelY + 1 17859 -0.30027674 1.10073382 -17.204590 63.067402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10077725-1.10073382) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10077725-1.10073382) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30037261--0.30027674) × cos(1.10077725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452903293562029 × 6371000     		do = 276.627792700401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30037261--0.30027674) × cos(1.10073382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452942013570423 × 6371000     		du = 276.651442407982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10077725)-sin(1.10073382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452903293562029-0.452942013570423)×R²
    abs(-0.30027674--0.30037261)×3.87200083931671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87200083931671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87200083931671e-05×40589641000000     		ar = 76544.1156909903m²