Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29634 / 14916
↖ ↑ ↗
← N 69.526834°
W 17.215576°		 ← 213.66 m → N 69.526834°
W 17.210083°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
N 69.524912°
W 17.215576°		 ← 213.68 m →
45 657 m²		 N 69.524912°
W 17.210083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452186584472656 y=0.227607727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452186584472656 × 216)
    floor (0.452186584472656 × 65536)
    floor (29634.5)     		tx = 29634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227607727050781 × 216)
    floor (0.227607727050781 × 65536)
    floor (14916.5)     		ty = 14916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29634 / 14916 ti = "16/29634/14916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29634/14916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29634 ÷ 216
    29634 ÷ 65536     		x = 0.452178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14916 ÷ 216
    14916 ÷ 65536     		y = 0.22760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.09564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30046849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22760009765625 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71153906403448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30046849} λ = -0.30046849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71153906403448))-π/2
    2×atan(5.53747745501854)-π/2
    2×1.39213424635528-π/2
    2.78426849271057-1.57079632675     		φ = 1.21347217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30046849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.215576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21347217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.526834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29634 KachelY 14916 -0.30046849 1.21347217 -17.215576 69.526834
    Oben rechts KachelX + 1 29635 KachelY 14916 -0.30037261 1.21347217 -17.210083 69.526834
    Unten links KachelX 29634 KachelY + 1 14917 -0.30046849 1.21343863 -17.215576 69.524912
    Unten rechts KachelX + 1 29635 KachelY + 1 14917 -0.30037261 1.21343863 -17.210083 69.524912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21347217-1.21343863) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21347217-1.21343863) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30046849--0.30037261) × cos(1.21347217) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		do = 213.656704804997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30046849--0.30037261) × cos(1.21343863) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349800083228344 × 6371000     		du = 213.675898544141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21347217)-sin(1.21343863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349768661942202-0.349800083228344)×R²
    abs(-0.30037261--0.30046849)×3.1421286142197e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1421286142197e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1421286142197e-05×40589641000000     		ar = 45656.9289916111m²