Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29633 / 42300
↖ ↑ ↗
← S 46.301406°
W 17.221069°		 ← 421.97 m → S 46.301406°
W 17.215576°		 →
↑
421.95 m
↓
↑
421.95 m
↓
S 46.305201°
W 17.221069°		 ← 421.94 m →
178 045 m²		 S 46.305201°
W 17.215576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452171325683594 y=0.645454406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452171325683594 × 216)
    floor (0.452171325683594 × 65536)
    floor (29633.5)     		tx = 29633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645454406738281 × 216)
    floor (0.645454406738281 × 65536)
    floor (42300.5)     		ty = 42300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29633 / 42300 ti = "16/29633/42300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29633/42300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29633 ÷ 216
    29633 ÷ 65536     		x = 0.452163696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42300 ÷ 216
    42300 ÷ 65536     		y = 0.64544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452163696289062 × 2 - 1) × π
    -0.095672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30056436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30056436} λ = -0.30056436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91386905435675))-π/2
    2×atan(0.400969844858734)-π/2
    2×0.381342170557981-π/2
    0.762684341115962-1.57079632675     		φ = -0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30056436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.221069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29633 KachelY 42300 -0.30056436 -0.80811199 -17.221069 -46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 29634 KachelY 42300 -0.30046849 -0.80811199 -17.215576 -46.301406
    Unten links KachelX 29633 KachelY + 1 42301 -0.30056436 -0.80817822 -17.221069 -46.305201
    Unten rechts KachelX + 1 29634 KachelY + 1 42301 -0.30046849 -0.80817822 -17.215576 -46.305201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80811199--0.80817822) × R
    6.62299999999449e-05 × 6371000     		dl = 421.951329999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80811199--0.80817822) × R
    6.62299999999449e-05 × 6371000     		dr = 421.951329999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30056436--0.30046849) × cos(-0.80811199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 421.97168791231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30056436--0.30046849) × cos(-0.80817822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690816779928619 × 6371000     		du = 421.942440491172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80811199)-sin(-0.80817822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.690816779928619)×R²
    abs(-0.30046849--0.30056436)×4.78847524026937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78847524026937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78847524026937e-05×40589641000000     		ar = 178045.344507691m²