Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29632 / 42299
↖ ↑ ↗
← S 46.297611°
W 17.226562°		 ← 422 m → S 46.297611°
W 17.221069°		 →
↑
422.02 m
↓
↑
422.02 m
↓
S 46.301406°
W 17.226562°		 ← 421.97 m →
178 085 m²		 S 46.301406°
W 17.221069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452156066894531 y=0.645439147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452156066894531 × 216)
    floor (0.452156066894531 × 65536)
    floor (29632.5)     		tx = 29632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645439147949219 × 216)
    floor (0.645439147949219 × 65536)
    floor (42299.5)     		ty = 42299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29632 / 42299 ti = "16/29632/42299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29632/42299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29632 ÷ 216
    29632 ÷ 65536     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42299 ÷ 216
    42299 ÷ 65536     		y = 0.645431518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645431518554688 × 2 - 1) × π
    -0.290863037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.91377318055751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91377318055751))-π/2
    2×atan(0.401008289204014)-π/2
    2×0.381375289616003-π/2
    0.762750579232005-1.57079632675     		φ = -0.80804575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80804575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.297611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29632 KachelY 42299 -0.30066023 -0.80804575 -17.226562 -46.297611
    Oben rechts KachelX + 1 29633 KachelY 42299 -0.30056436 -0.80804575 -17.221069 -46.297611
    Unten links KachelX 29632 KachelY + 1 42300 -0.30066023 -0.80811199 -17.226562 -46.301406
    Unten rechts KachelX + 1 29633 KachelY + 1 42300 -0.30056436 -0.80811199 -17.221069 -46.301406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80804575--0.80811199) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dl = 422.015039999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80804575--0.80811199) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dr = 422.015039999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.30056436) × cos(-0.80804575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69091255363239 × 6371000     		do = 422.000937898123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.30056436) × cos(-0.80811199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690864664681021 × 6371000     		du = 421.97168791231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80804575)-sin(-0.80811199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69091255363239-0.690864664681021)×R²
    abs(-0.30056436--0.30066023)×4.78889513685354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78889513685354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78889513685354e-05×40589641000000     		ar = 178084.570785352m²