Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29632 / 14910
↖ ↑ ↗
← N 69.538358°
W 17.226562°		 ← 213.52 m → N 69.538358°
W 17.221069°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
N 69.536438°
W 17.226562°		 ← 213.54 m →
45 587 m²		 N 69.536438°
W 17.221069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452156066894531 y=0.227516174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452156066894531 × 216)
    floor (0.452156066894531 × 65536)
    floor (29632.5)     		tx = 29632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227516174316406 × 216)
    floor (0.227516174316406 × 65536)
    floor (14910.5)     		ty = 14910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29632 / 14910 ti = "16/29632/14910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29632/14910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29632 ÷ 216
    29632 ÷ 65536     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14910 ÷ 216
    14910 ÷ 65536     		y = 0.227508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227508544921875 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71211430682993))-π/2
    2×atan(5.54066376539263)-π/2
    2×1.39223482020466-π/2
    2.78446964040932-1.57079632675     		φ = 1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29632 KachelY 14910 -0.30066023 1.21367331 -17.226562 69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 29633 KachelY 14910 -0.30056436 1.21367331 -17.221069 69.538358
    Unten links KachelX 29632 KachelY + 1 14911 -0.30066023 1.21363980 -17.226562 69.536438
    Unten rechts KachelX + 1 29633 KachelY + 1 14911 -0.30056436 1.21363980 -17.221069 69.536438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21367331-1.21363980) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21367331-1.21363980) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.30056436) × cos(1.21367331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 213.519322798846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.30056436) × cos(1.21363980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349611615192842 × 6371000     		du = 213.538498809729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21367331)-sin(1.21363980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349611615192842)×R²
    abs(-0.30056436--0.30066023)×3.13955383928199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13955383928199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13955383928199e-05×40589641000000     		ar = 45586.7590706879m²