Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29630 / 42306
↖ ↑ ↗
← S 46.324172°
W 17.237549°		 ← 421.80 m → S 46.324172°
W 17.232056°		 →
↑
421.76 m
↓
↑
421.76 m
↓
S 46.327965°
W 17.237549°		 ← 421.77 m →
177 891 m²		 S 46.327965°
W 17.232056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452125549316406 y=0.645545959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452125549316406 × 216)
    floor (0.452125549316406 × 65536)
    floor (29630.5)     		tx = 29630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645545959472656 × 216)
    floor (0.645545959472656 × 65536)
    floor (42306.5)     		ty = 42306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29630 / 42306 ti = "16/29630/42306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29630/42306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29630 ÷ 216
    29630 ÷ 65536     		x = 0.452117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42306 ÷ 216
    42306 ÷ 65536     		y = 0.645538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.09576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30085198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.29107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914444297152191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30085198} λ = -0.30085198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914444297152191))-π/2
    2×atan(0.400739256172888)-π/2
    2×0.381143504416453-π/2
    0.762287008832906-1.57079632675     		φ = -0.80850932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30085198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.237549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80850932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.324172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29630 KachelY 42306 -0.30085198 -0.80850932 -17.237549 -46.324172
    Oben rechts KachelX + 1 29631 KachelY 42306 -0.30075611 -0.80850932 -17.232056 -46.324172
    Unten links KachelX 29630 KachelY + 1 42307 -0.30085198 -0.80857552 -17.237549 -46.327965
    Unten rechts KachelX + 1 29631 KachelY + 1 42307 -0.30075611 -0.80857552 -17.232056 -46.327965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80850932--0.80857552) × R
    6.62000000000162e-05 × 6371000     		dl = 421.760200000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80850932--0.80857552) × R
    6.62000000000162e-05 × 6371000     		dr = 421.760200000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30085198--0.30075611) × cos(-0.80850932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69057734688062 × 6371000     		do = 421.796197713721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30085198--0.30075611) × cos(-0.80857552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690529465651537 × 6371000     		du = 421.766952444585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80850932)-sin(-0.80857552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69057734688062-0.690529465651537)×R²
    abs(-0.30075611--0.30085198)×4.78812290825026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78812290825026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78812290825026e-05×40589641000000     		ar = 177890.681526654m²