Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29630 / 41320
↖ ↑ ↗
← S 42.455888°
W 17.237549°		 ← 450.64 m → S 42.455888°
W 17.232056°		 →
↑
450.62 m
↓
↑
450.62 m
↓
S 42.459940°
W 17.237549°		 ← 450.61 m →
203 060 m²		 S 42.459940°
W 17.232056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452125549316406 y=0.630500793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452125549316406 × 216)
    floor (0.452125549316406 × 65536)
    floor (29630.5)     		tx = 29630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630500793457031 × 216)
    floor (0.630500793457031 × 65536)
    floor (41320.5)     		ty = 41320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29630 / 41320 ti = "16/29630/41320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29630/41320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29630 ÷ 216
    29630 ÷ 65536     		x = 0.452117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41320 ÷ 216
    41320 ÷ 65536     		y = 0.6304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.09576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30085198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30085198} λ = -0.30085198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81991273110144))-π/2
    2×atan(0.440470092168561)-π/2
    2×0.414900650301505-π/2
    0.82980130060301-1.57079632675     		φ = -0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30085198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.237549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29630 KachelY 41320 -0.30085198 -0.74099503 -17.237549 -42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 29631 KachelY 41320 -0.30075611 -0.74099503 -17.232056 -42.455888
    Unten links KachelX 29630 KachelY + 1 41321 -0.30085198 -0.74106576 -17.237549 -42.459940
    Unten rechts KachelX + 1 29631 KachelY + 1 41321 -0.30075611 -0.74106576 -17.232056 -42.459940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74099503--0.74106576) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dl = 450.62083000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74099503--0.74106576) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dr = 450.62083000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30085198--0.30075611) × cos(-0.74099503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 450.637541050308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30085198--0.30075611) × cos(-0.74106576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737749510388292 × 6371000     		du = 450.608378268647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74099503)-sin(-0.74106576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737749510388292)×R²
    abs(-0.30075611--0.30085198)×4.77461781213107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77461781213107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77461781213107e-05×40589641000000     		ar = 203060.092183608m²