Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29629 / 42302
↖ ↑ ↗
← S 46.308996°
W 17.243042°		 ← 421.96 m → S 46.308996°
W 17.237549°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
S 46.312790°
W 17.243042°		 ← 421.93 m →
178 012 m²		 S 46.312790°
W 17.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452110290527344 y=0.645484924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452110290527344 × 216)
    floor (0.452110290527344 × 65536)
    floor (29629.5)     		tx = 29629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645484924316406 × 216)
    floor (0.645484924316406 × 65536)
    floor (42302.5)     		ty = 42302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29629 / 42302 ti = "16/29629/42302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29629/42302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29629 ÷ 216
    29629 ÷ 65536     		x = 0.452102661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42302 ÷ 216
    42302 ÷ 65536     		y = 0.645477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452102661132812 × 2 - 1) × π
    -0.095794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30094786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.29095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.914060801955231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30094786} λ = -0.30094786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914060801955231))-π/2
    2×atan(0.400892967224705)-π/2
    2×0.381275939328651-π/2
    0.762551878657301-1.57079632675     		φ = -0.80824445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30094786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.243042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80824445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.308996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29629 KachelY 42302 -0.30094786 -0.80824445 -17.243042 -46.308996
    Oben rechts KachelX + 1 29630 KachelY 42302 -0.30085198 -0.80824445 -17.237549 -46.308996
    Unten links KachelX 29629 KachelY + 1 42303 -0.30094786 -0.80831067 -17.243042 -46.312790
    Unten rechts KachelX + 1 29630 KachelY + 1 42303 -0.30085198 -0.80831067 -17.237549 -46.312790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80824445--0.80831067) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dl = 421.887620000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80824445--0.80831067) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dr = 421.887620000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30094786--0.30085198) × cos(-0.80824445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.690768892146008 × 6371000     		do = 421.957200105317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30094786--0.30085198) × cos(-0.80831067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.690721008564614 × 6371000     		du = 421.927950348755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80824445)-sin(-0.80831067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690768892146008-0.690721008564614)×R²
    abs(-0.30085198--0.30094786)×4.78835813944034e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78835813944034e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78835813944034e-05×40589641000000     		ar = 178012.34890437m²