Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29629 / 29780
↖ ↑ ↗
← S 81.234966°
E145.513916°		 ← 186.16 m → S 81.234966°
E145.524902°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
S 81.236639°
E145.513916°		 ← 186.12 m →
34 640 m²		 S 81.236639°
E145.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904220581054688 y=0.908828735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904220581054688 × 215)
    floor (0.904220581054688 × 32768)
    floor (29629.5)     		tx = 29629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908828735351562 × 215)
    floor (0.908828735351562 × 32768)
    floor (29780.5)     		ty = 29780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29629 / 29780 ti = "15/29629/29780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29629/29780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29629 ÷ 215
    29629 ÷ 32768     		x = 0.904205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29780 ÷ 215
    29780 ÷ 32768     		y = 0.9088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904205322265625 × 2 - 1) × π
    0.80841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.53969694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56865082924109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53969694} λ = 2.53969694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56865082924109))-π/2
    2×atan(0.0766388746325143)-π/2
    2×0.0764893546245113-π/2
    0.152978709249023-1.57079632675     		φ = -1.41781762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53969694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41781762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29629 KachelY 29780 2.53969694 -1.41781762 145.513916 -81.234966
    Oben rechts KachelX + 1 29630 KachelY 29780 2.53988869 -1.41781762 145.524902 -81.234966
    Unten links KachelX 29629 KachelY + 1 29781 2.53969694 -1.41784683 145.513916 -81.236639
    Unten rechts KachelX + 1 29630 KachelY + 1 29781 2.53988869 -1.41784683 145.524902 -81.236639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41781762--1.41784683) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41781762--1.41784683) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53969694-2.53988869) × cos(-1.41781762) × R
    0.000191750000000379 × 0.152382724287716 × 6371000     		do = 186.15671701217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53969694-2.53988869) × cos(-1.41784683) × R
    0.000191750000000379 × 0.152353855349953 × 6371000     		du = 186.121449584694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41781762)-sin(-1.41784683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152382724287716-0.152353855349953)×R²
    abs(2.53988869-2.53969694)×2.8868937762716e-05×R²
    0.000191750000000379×2.8868937762716e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.8868937762716e-05×40589641000000     		ar = 34639.9082343743m²