Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29627 / 22697
↖ ↑ ↗
← N 48.308774°
W 17.254028°		 ← 406.24 m → N 48.308774°
W 17.248535°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
N 48.305121°
W 17.254028°		 ← 406.27 m →
165 054 m²		 N 48.305121°
W 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452079772949219 y=0.346336364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452079772949219 × 216)
    floor (0.452079772949219 × 65536)
    floor (29627.5)     		tx = 29627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346336364746094 × 216)
    floor (0.346336364746094 × 65536)
    floor (22697.5)     		ty = 22697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29627 / 22697 ti = "16/29627/22697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29627/22697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29627 ÷ 216
    29627 ÷ 65536     		x = 0.452072143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22697 ÷ 216
    22697 ÷ 65536     		y = 0.346328735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452072143554688 × 2 - 1) × π
    -0.095855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30113960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346328735351562 × 2 - 1) × π
    0.307342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965545032147171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30113960} λ = -0.30113960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965545032147171))-π/2
    2×atan(2.62621864005746)-π/2
    2×1.20697174920966-π/2
    2.41394349841931-1.57079632675     		φ = 0.84314717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30113960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.254028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84314717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.308774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29627 KachelY 22697 -0.30113960 0.84314717 -17.254028 48.308774
    Oben rechts KachelX + 1 29628 KachelY 22697 -0.30104373 0.84314717 -17.248535 48.308774
    Unten links KachelX 29627 KachelY + 1 22698 -0.30113960 0.84308340 -17.254028 48.305121
    Unten rechts KachelX + 1 29628 KachelY + 1 22698 -0.30104373 0.84308340 -17.248535 48.305121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84314717-0.84308340) × R
    6.37699999999075e-05 × 6371000     		dl = 406.278669999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84314717-0.84308340) × R
    6.37699999999075e-05 × 6371000     		dr = 406.278669999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30113960--0.30104373) × cos(0.84314717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665116005722269 × 6371000     		do = 406.244721926403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30113960--0.30104373) × cos(0.84308340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		du = 406.273806577501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84314717)-sin(0.84308340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665116005722269-0.665163623982698)×R²
    abs(-0.30104373--0.30113960)×4.76182604287612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76182604287612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76182604287612e-05×40589641000000     		ar = 165054.473611385m²