Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29620 / 42926
↖ ↑ ↗
← S 48.625648°
W 17.292480°		 ← 403.72 m → S 48.625648°
W 17.286988°		 →
↑
403.73 m
↓
↑
403.73 m
↓
S 48.629278°
W 17.292480°		 ← 403.69 m →
162 987 m²		 S 48.629278°
W 17.286988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451972961425781 y=0.655006408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451972961425781 × 216)
    floor (0.451972961425781 × 65536)
    floor (29620.5)     		tx = 29620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655006408691406 × 216)
    floor (0.655006408691406 × 65536)
    floor (42926.5)     		ty = 42926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29620 / 42926 ti = "16/29620/42926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29620/42926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29620 ÷ 216
    29620 ÷ 65536     		x = 0.45196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42926 ÷ 216
    42926 ÷ 65536     		y = 0.654998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45196533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0960693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30181072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.30999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.973886052681061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30181072} λ = -0.30181072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973886052681061))-π/2
    2×atan(0.37761276008602)-π/2
    2×0.361059339307694-π/2
    0.722118678615389-1.57079632675     		φ = -0.84867765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30181072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.292480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84867765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.625648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29620 KachelY 42926 -0.30181072 -0.84867765 -17.292480 -48.625648
    Oben rechts KachelX + 1 29621 KachelY 42926 -0.30171485 -0.84867765 -17.286988 -48.625648
    Unten links KachelX 29620 KachelY + 1 42927 -0.30181072 -0.84874102 -17.292480 -48.629278
    Unten rechts KachelX + 1 29621 KachelY + 1 42927 -0.30171485 -0.84874102 -17.286988 -48.629278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84867765--0.84874102) × R
    6.3370000000007e-05 × 6371000     		dl = 403.730270000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84867765--0.84874102) × R
    6.3370000000007e-05 × 6371000     		dr = 403.730270000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30181072--0.30171485) × cos(-0.84867765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660976024212869 × 6371000     		do = 403.716071852436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30181072--0.30171485) × cos(-0.84874102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660928469592895 × 6371000     		du = 403.687026072148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84867765)-sin(-0.84874102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660976024212869-0.660928469592895)×R²
    abs(-0.30171485--0.30181072)×4.75546199746324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75546199746324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75546199746324e-05×40589641000000     		ar = 162986.535416716m²