Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29618 / 41326
↖ ↑ ↗
← S 42.480200°
W 17.303467°		 ← 450.51 m → S 42.480200°
W 17.297973°		 →
↑
450.43 m
↓
↑
450.43 m
↓
S 42.484251°
W 17.303467°		 ← 450.48 m →
202 916 m²		 S 42.484251°
W 17.297973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451942443847656 y=0.630592346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451942443847656 × 216)
    floor (0.451942443847656 × 65536)
    floor (29618.5)     		tx = 29618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630592346191406 × 216)
    floor (0.630592346191406 × 65536)
    floor (41326.5)     		ty = 41326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29618 / 41326 ti = "16/29618/41326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29618/41326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29618 ÷ 216
    29618 ÷ 65536     		x = 0.451934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41326 ÷ 216
    41326 ÷ 65536     		y = 0.630584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.26116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820487973896881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30200247} λ = -0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820487973896881))-π/2
    2×atan(0.44021678778418)-π/2
    2×0.414688485223669-π/2
    0.829376970447337-1.57079632675     		φ = -0.74141936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74141936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.480200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29618 KachelY 41326 -0.30200247 -0.74141936 -17.303467 -42.480200
    Oben rechts KachelX + 1 29619 KachelY 41326 -0.30190659 -0.74141936 -17.297973 -42.480200
    Unten links KachelX 29618 KachelY + 1 41327 -0.30200247 -0.74149006 -17.303467 -42.484251
    Unten rechts KachelX + 1 29619 KachelY + 1 41327 -0.30190659 -0.74149006 -17.297973 -42.484251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74141936--0.74149006) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dl = 450.429699999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74141936--0.74149006) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dr = 450.429699999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30200247--0.30190659) × cos(-0.74141936) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737510757907778 × 6371000     		do = 450.509537984114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30200247--0.30190659) × cos(-0.74149006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737463009852891 × 6371000     		du = 450.48037101412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74141936)-sin(-0.74149006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737510757907778-0.737463009852891)×R²
    abs(-0.30190659--0.30200247)×4.77480548860543e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77480548860543e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77480548860543e-05×40589641000000     		ar = 202916.307290639m²