Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29618 / 22705
↖ ↑ ↗
← N 48.279537°
W 17.303467°		 ← 406.52 m → N 48.279537°
W 17.297973°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
N 48.275881°
W 17.303467°		 ← 406.55 m →
165 270 m²		 N 48.275881°
W 17.297973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451942443847656 y=0.346458435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451942443847656 × 216)
    floor (0.451942443847656 × 65536)
    floor (29618.5)     		tx = 29618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346458435058594 × 216)
    floor (0.346458435058594 × 65536)
    floor (22705.5)     		ty = 22705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29618 / 22705 ti = "16/29618/22705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29618/22705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29618 ÷ 216
    29618 ÷ 65536     		x = 0.451934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22705 ÷ 216
    22705 ÷ 65536     		y = 0.346450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346450805664062 × 2 - 1) × π
    0.307098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.96477804175325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30200247} λ = -0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96477804175325))-π/2
    2×atan(2.62420512785916)-π/2
    2×1.20671660736927-π/2
    2.41343321473854-1.57079632675     		φ = 0.84263689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84263689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.279537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29618 KachelY 22705 -0.30200247 0.84263689 -17.303467 48.279537
    Oben rechts KachelX + 1 29619 KachelY 22705 -0.30190659 0.84263689 -17.297973 48.279537
    Unten links KachelX 29618 KachelY + 1 22706 -0.30200247 0.84257308 -17.303467 48.275881
    Unten rechts KachelX + 1 29619 KachelY + 1 22706 -0.30190659 0.84257308 -17.297973 48.275881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84263689-0.84257308) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dl = 406.533509999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84263689-0.84257308) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dr = 406.533509999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30200247--0.30190659) × cos(0.84263689) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.665496965623965 × 6371000     		do = 406.519806387112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30200247--0.30190659) × cos(0.84257308) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.6655445920885 × 6371000     		du = 406.548899083461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84263689)-sin(0.84257308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665496965623965-0.6655445920885)×R²
    abs(-0.30190659--0.30200247)×4.76264645351554e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76264645351554e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76264645351554e-05×40589641000000     		ar = 165269.837409227m²